·  5.10. Derivada del producto de tres funciones

         Según hemos anunciado anteriormente, no queremos acabar el cálculo de funciones derivadas sin intentar darnos contestación a la pregunta: ¿Qué pasaría si en lugar de ser  producto de dos funciones, fuera producto de tres funciones?

En principio, y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del producto de funciones, podríamos proceder como en el caso del producto de dos funciones:

Si  , entonces podemos escribir  y considerar que  es producto de dos funciones:  u  y . Aplicamos entonces la regla de derivación para el producto de estas dos funciones y se obtiene que:

      �

Pero en el segundo sumando nos ha aparecido , es decir la derivada de un producto de dos funciones, por lo que tendremos que aplicar de nuevo la regla de derivación de un producto, pero ahora a  v  y  w :

        ?

Por lo tanto, si sustituimos ?  en � tendremos que:

de donde, finalmente

que es la fórmula para la derivada de un producto de tres funciones.

Ejercicio: Mediante un razonamiento análogo, invitamos al alumno a que deduzca la regla de derivación para un producto de cuatro funciones.

Ejemplos: 

    a)   ®     ®

    b)      ®

    ®        ®

       ®  

   c)     ®   

®   ®

      ®  

      arc tg arc tg