Definiciones

Diremos que una función  f  es creciente en un intervalo   f   es creciente en  x, 

         Análogamente,

Diremos que una función  f  es decreciente en un intervalo abierto   f  es decreciente en  x,  

·  7.3. Estudio de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función

         Se podrían plantear las correspondientes desigualdades     y  , y se resolverían las inecuaciones.

Pero se hará mejor estudiando el signo de la primera derivada   en los intervalos que las raíces de la ecuación    determinan sobre el dominio de .

Deberíamos poner inmediatamente ejemplos de aplicación de este último método indicado, que es muy útil e importante. No obstante, como a continuación vamos a ver que lo antedicho se encuentra íntimamente relacionado con los máximos y mínimos relativos de una función, y el estudio de ambos conceptos se puede hacer conjuntamente, nos esperamos a hacerlo todo a la vez después del apartado siguiente.

·  7.4. Máximos y mínimos relativos de una función (Extremos relativos)

Sea f definida en un intervalo abierto   y sea  

Definición 1  

Diremos que  f  tiene un máximo relativo estricto en  c    Û 

Û     tal que, siendo    y siendo  , entonces se verifica que

es decir, si “un poco” a la izquierda de c la función toma un valor menor que en c, y “un poco” a la derecha de c toma también un valor menor que en c. Naturalmente ello se traduce en que en c la función toma un valor mayor que en los “alrededores” de c.

         Hay que hacer notar que la condición de máximo relativo estricto se puede escribir

Definición 2

Diremos que f  tiene  un mínimo relativo estricto en  c     Û   

Û    tal que, siendo    y siendo  , entonces se verifica que

es decir, que “un poco” a la izquierda de c la función toma un valor mayor que en c, y “un poco” a la derecha de c también toma un valor mayor que en c. Naturalmente ello se traduce en que en c la función toma un valor menor que en los “alrededores” de c.

Hay que hacer notar que la condición de mínimo relativo estricto se puede escribir

Nota: Análogamente a lo que hemos comentado antes, en el apartado de crecimiento y decrecimiento, advertimos que en lo sucesivo vamos a hablar simplemente de máximo relativo o de mínimo relativo de una función en un punto, prescindiendo de la especificación de “estricto”. Somos igualmente conscientes de que ello supone una pérdida de rigor, e incluso una incorrección matemática, pero lo hacemos para facilitar los conceptos al alumno.

Teorema

Sea  f  definida en    y derivable en  .  Si  f  tiene un máximo o un mínimo relativo en  c  .

¨  Si fuera  ,  habría de ser o positiva o negativa y, por tanto, f  sería o estrictamente creciente o estrictamente decreciente en  c , luego  f  no podría tener en  c  ni máximo ni mínimo relativo, en contra de la hipótesis. x

Nota importante:  El recíproco no es cierto.

Podemos comprobarlo también con el contraejemplo   en  , pues ya hemos visto antes que la derivada de esta función valía  en origen y, sin embargo la función no tenía en ese punto ni máximo ni mínimo relativo, sino que era creciente. Es trascendental observar que, si en ese punto la derivada es , como la derivada en un punto era la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, ello significa que en el origen esta función tiene tangente horizontal (el propio eje X) que atraviesa la curva.

         Los puntos en los que la curva atraviesa a su tangente con pendiente   se llaman puntos de inflexión de tangente horizontal o puntos silla.