4. Diferencial de una función

·  4.1. Diferencial de una función derivable en un punto

Se define la diferencial de una función  , derivable en un pun­­to , como el producto de su derivada en ese punto por un incremento de la variable x. Es decir:  

Ejemplo:  La función    es derivable en el punto   siendo  , como hemos visto antes. Por tanto:   

Si   se tendrá que , mientras que, por otra parte,   , como vimos en su momento.

Vemos entonces que   es una buena aproximación de  si    es “pequeño”.

·  4.2. Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto

           =      Þ   MN =

         Se comprueba, pues, que la diferencial de la función en el punto  es la longitud del segmento MN, mientras que el incremento de la función en dicho punto , y para el  tomado, es la longitud del segmento MQ. Ello nos vuelve a confirmar, desde el punto de vista gráfico, lo que acabá­bamos de comprobar numéricamente, es decir, que   si   es “pequeño”.

·  4.3. Diferencial de la función identidad  y = f (x) = x

En cualquier punto  x  de su dominio se verifica que

Esto sucede nada más para la función identidad, pero se ha generalizado la costumbre de hacerlo extensivo a cualquier función y por esta razón se acostumbra a escribir  

 5. Propiedades y Cálculo de funciones derivadas

 ·  5.1. Derivabilidad implica continuidad

Teorema:   Si  es derivable en     es continua en

¨  Recordemos que  es continua en   Û    Û 

  Û    Û 

Y, efectivamente, si  es derivable en , y  siendo  ,

         x

Por tanto, toda función derivable en un punto es continua en ese punto. En cambio el recíproco no es cierto, como comprobaremos muy pronto con algún contraejemplo.