·  3.4. Derivadas laterales. Semitangentes.

        Derivada por la izquierda de  en :

         Si este límite existe y es finito, define la pendiente de la semi­tangente por la izquierda a la curva   en el punto  P.

        Derivada por la derecha de    en :

         Si este límite existe y es finito, define la pendiente de la semi­tangente por la derecha a la curva   en el punto  P.

Naturalmente, una función será derivable en un punto  si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en ese punto y las dos derivadas laterales coinciden. Cuando una función tiene derivada por la izquierda y por la derecha en un punto , pero ambas son diferentes, la curva tiene en ese punto un punto anguloso.

         Consideramos muy interesante poner un ejemplo de derivadas laterales y de las correspondientes semitangentes, pero comoquiera que todavía no hemos aprendido las reglas prácticas de derivación, nos vemos obligados a posponer el ejemplo para más adelante.

 ·  3.5. Función derivada de una función  f(x)                

         Hemos visto antes que la derivada de la función    tomaba diferentes valores para distintos valores de . Lógicamente, esto sucede con cualquier función. Se define entonces la función derivada de una función  como la función  que a cada valor de  le hace corresponder el valor de la derivada .

En la práctica el cálculo de la función derivada se reduce al cálculo de la derivada en un punto x cualquiera:

        Como ejemplos de aplicación vamos ahora a hallar las funciones derivadas de algunas funciones elementales, que luego podremos “aprovechar” para ampliar nuestro “repertorio” de ejercicios:

Podemos comenzar por la función  , que ya hemos tratado anteriormente. Su función derivada sería

Luego la función derivada de  es la función 

         Hallemos ahora, por ejemplo, la función derivada de la función identidad  :

Es decir que la función derivada de la función identidad  es la función constante .

         Tomemos ahora la función raíz cuadrada, , y vamos a hallar también su función derivada, recordando el cálculo de límites indeterminados de funciones en los que aparecía alguna diferencia con raíz cuadrada:

Así pues, la función derivada de  es la función   

         Hemos visto de momento tres funciones derivadas de sendas funciones. Más tarde volveremos sobre el cálculo de las funciones derivadas de las funciones elementales.