Procesos estocásticos en tiempo continuo: representación como ecuaciones diferenciales estocásticas

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 16:18

Resumen:

Este vídeo generaliza el proceso de Wiener $dB\sim N(0,dt)$ (incremento infinitesimal con desviación típica $\sqrt{dt}$, descrito en los vídeos [wienerlim] y [wienerprops]), a un proceso general $dx=f(x,t)dt+g(x,t)dB$, denominado ecuación diferencial estocástica. La simulación de estas EDO estocásticas genera realizaciones $x(t)$ de un proceso estocástico en tiempo contínuo $X_t$.

Esta expresión es la representación formalmente correcta (en el sentido de Itô) de la idea de ecuación diferencial con ruido $\frac{dx}{dt}=f(x,t)+g(x,t)w$, siendo $w$ un “ruido blanco” que tiene varianza infinita.

El vídeo discute los detalles de cómo interpretar y simular (integración numérica) este tipo de ecuaciones diferenciales estocásticas. La simulación a un cierto paso de integración $T$ puede ser bien en un script de Matlab, generando el randn() multiplicado por las desviaciones típicas adecuadas, bien en Simulink mediante un bloque Band-Limited White Noise, bien usando integradores numéricos usuales (ode45, lsim, …). Los detalles de todo eso son explicados en este material.

En resumen, se presenta la justificación a la idea que se lanzó de modo “a ojo” en el vídeo [edostochmal] sobre determinados escalados de randn() dependientes de la raíz cuadrada del paso de integración.

Este método de simular procesos estocásticos se denomina Euler-Maruyama. Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, hay otros métodos más exactos para poder aumentar el período de muestreo conservando precisión... pero no son objetivo de este vídeo ni de, por el momento, ninguno de la colección, dado que nos centramos en casos lineales cuya solución exacta puede ser calculada con exponenciales.

En efecto, el caso particular lineal se discute en el vídeo [edoslin1], por su importancia en ingeniería de control y de comunicaciones.

Colección completa [VER]:

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