Predicción óptima en sistemas dinámicos lineales: Filtro de Kalman tiempo discreto (demostración)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 15:46

Resumen:

En este vídeo se revisan las fórmulas de mejor predicción lineal de una variable dada otra, en base a la matriz de varianzas-covarianzas conjunta (vídeo [preli2]), que coinciden con mínimos cuadrados en un enfoque determinista (vídeo [ls3i]) que aquí no será utilizado. Luego, se aplican para obtener la mejor predicción del estado $x$ de un sistema dinámico dado un conjunto de medidas $y$ (el sistema tiene ruido de proceso y ruido de medida). La simulación en bucle abierto de dichos procesos se presentó en el vídeo [stochOA]; este vídeo reescribe las fórmulas, generalizándolas para incorporar el efecto de la información proporcionada por sensores sobre la predicción del estado interno del proceso.

Nota: aunque no se dice explícitamente en el vídeo, se utiliza la suposición de independencia condicional de las medidas y el siguiente estado entre sí y con respecto a cualquier otra variable pasada, según se discute de forma genérica en el video [condin2]. Ello implica que toda la información del pasado puede “condensarse” en la variable intermedia $x_k$ para predecir el futuro (se ha an~adido una transparencia al PDF).

En concreto, a partir de un estimado ${\widehat{x}}_{k-1}$, ${\mathrm{\Sigma }}_{x_{k-1},p}$ (condiciones iniciales) suponiendo que incorpora toda la información conocida de medidas hasta el instante $k-1$, se calcula la ecuación de medias del observador óptimo que produce ${\widehat{x}}_k$ en función de dichas condiciones iniciales y la medida $y_k$, y también se actualiza la matriz de varianzas-covarianzas incorporando la información del sensor, obteniendo ${\mathrm{\Sigma }}_{x_k,p}$. Con ello, se puede aplicar recursivamente utilizando $y_{k+1}$, $y_{k+2}$, …y dicho algoritmo constituye el observador óptimo o Filtro de Kalman, muy utilizado en gran cantidad de aplicaciones de control y monitorización, siendo uno de los resultados más importantes de la estadística multivariable lineal.

Nota 1: El filtro de Kalman estacionario es un caso particular de lo que se denomina problema $H_2$ de control óptimo, como se discute en el vídeo [h2obsml].

Nota 2: La generalización del filtro de Kalman a sistemas no lineales, mediante linealización alrededor de trayectorias (vídeo [ltray]), se denomina filtro de Kalman extendido (detalles en vídeo [ekfteo]).

Colección completa [VER]:

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