Estimación (interpolación, kriging) con procesos no estacionarios: Wiener, Integrated Wiener (ejemplo Matlab)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:59

Resumen:

Este vídeo plantea otros problemas de estimación (interpolación y extrapolación, kriging) en procesos gaussianos unidimensionales (esto es, podrían ser interpretados como series temporales).

Primero, se plantean dos kernels ($e^{-|d|}$ y $e^{-d^2}$), $d=x_2-x_1$ estacionarios, para revisar conceptos de generación de muestras (detalles en vídeo [dadogaus]) y de estimación cuyo detalle se aborda en, por ejemplo, el vídeo [krigt] y más ejemplos Matlab aparecen el el vídeo [krigtm].

En la segunda mitad del vídeo, se plantea la estimación con muestras de dos procesos estocásticos no estacionarios muy habituales:

1. El proceso de Wiener (paseo aleatorio, vídeo [wienerlim]), informalmente descrito como $\frac{dw}{dt}=\beta$, siendo $\beta$ un ruido blanco de densidad de potencia unidad,

2. La integral del proceso de Wiener anterior, informalmente $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\beta$, como una masa de 1 Kg con aceleración ruido blanco (el proceso de Wiener sería la velocidad de dicha masa; estamos suponiendo modelos integrador puro, sin fricción). Se aconseja visualizar el vídeo [iwp1] para comprender en más detalle el proceso de Wiener integrado al que aquí se referencia.

Las fórmulas son las mismas aunque la matriz de VC no corresponda a un caso estacionario (matriz Toeplitz, todo trasladado alrededor de la diagonal). Se comprueba que:

1. El resultado de la estimación suponiendo muestras generadas por proceso de Wiener es una interpolación lineal y extrapolación manteniendo constante la última muestra;

2. El resultado de la estimación suponiendo muestras generadas por la integral del proceso de Wiener tiene derivadas primera y segunda contínuas, y la derivada tercera es constante a trozos: dicha estimación es, por tanto, representada por un polinomio de grado 3 a trozos, que se denomina cubic spline en la literatura: el “integrated Wiener process” justifica en términos probabilísticos el uso de ciertas splines cúblicas para interpolación.

Nota 1: El caso no estacionario puede resolverse de forma equivalente si el proceso estocástico es modelado en representación interna y se aplica el algoritmo de suavizado Rauch-Tung-Striebel en tiempo contínuo. Por simplicidad, en el vídeo [rtsm] se explica el caso discreto, con ejemplos también discretos en los vídeo [ramprts] y [rampNC] que usan el modelo del doble integrador (como implícitamente se está haciendo aquí).

Nota 2: En los vídeos [impulkerM1] y [impulkerM2] se utilizan los procesos de Wiener y Wiener integrado aquí discutidos con una transformación exponencial de los datos de entrada para un problema de identificación de respuesta impulsional. Las propiedades del proceso de Wiener integrado (doble integrador) se discuten en el vídeo [iwp1].

Colección completa [VER]:

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