Distribución normal 2-dimensional: simulación de muestras (covarianza dada) en Matlab

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ** ,       Relevancia: ,      Duración: 09:16

Resumen:

En este vídeo se muestra cómo usar el comando randn para obtener muestras de una variable normal multidimensional $\psi$ con una cierta matriz de varianzas-covarianzas (vídeo [vamult]) dada de antemano $\mathrm{\Sigma }$. La idea se basa en diagonalizar $\mathrm{\Sigma }=VD{V}^T$, y hacer el cambio de variable $\varphi =V^T\psi$ o, equivalentemente $\varphi =V\psi$. Con ello, se comprueba que la matriz de varianzas-covarianzas de $\varphi$ es diagonal (no correlada), que en distribución normal implica estadísticamente independiente y por tanto se puede “tirar el dado” con randn en cada componente de $\psi$ y luego multiplicarlo por $V$ para tener muestras de $\psi$, como se deseaba. Las variables $\varphi$ se denominan “componentes principales” de $\psi$.

La parte final del vídeo comprueba cómo la gran mayoría de las muestras se encuentra dentro de ciertos elipsoides (alineados con los ejes, en el caso de los componentes principales $\varphi$, y “rotados” en el caso de las variables $\psi$). Los detalles sobre el cálculo de curvas de nivel para estos “elipsoides de confianza” se abordan en los vídeos [intc] y [elipc], que usan la distribución de probabilidad ${\chi }^2$.

Nota: La diagonalización calcula la “raíz cuadrada” de la matriz de varianzas-covarianzas $V\sqrt{D}$, que es por lo que hay que multiplicar randn; esta raíz cuadrada de la matriz tiene la interpretación de “componentes principales” muy útil en muchas aplicaciones, pero existen otras raíces cuadradas (factorización $\mathrm{\Sigma }=Q{Q}^T$), más rápidas computacionalmente como la factorización de Cholesky (comando chol), con $Q$ triangular, que también son válidas para generar las muestras: si $\psi =Q\cdot s$ con $cov(s)=I$ entonces $E[\psi {\psi }^T]=Q\cdot I\cdot Q^T=\mathrm{\Sigma }$. De hecho, en la documentación de Matlab (R2020b) de randn se utiliza la factorizacón de Cholesky para generar variables aleatorias normales multidimensionales en sus ejemplos.

Colección completa [VER]:

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