Elipsoide de confianza en distribución normal multidimensional: caso general

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 08:22

Resumen:

Este vídeo generaliza las ideas del vídeo anterior [intc] al caso de un vector de $m$ variables aleatorias $y={(y_1,\dots ,y_m)}^T$ que se rigen por una distribución normal $m$-dimensional de media cero y varianza 1 independientes. Básicamente, se trata de sustituir los 2 grados de libertad del ${\chi }^2$ del referido vídeo por $m$, esto es, usar chi2inv(p,m). El caso 2D está discutido en detalle en los vídeos [cfrc1] y [cfrcwrong].

El vídeo analiza posteriormente el caso de distribución normal con correlación entre variables. Un ejemplo Matlab de dicha distribución y de cómo “tirar el dado” para obtener muestras de ella aparece en el vídeo [dadonorm2d], cuya visualización se aconseja de forma previa/simultánea a este contenido.

Si las variables siguen una distribución normal $m$-dimensional de media cero pero de matriz de varianzas-covarianzas $\mathrm{\Sigma }$, esto es, tienen una función de densidad:

entonces, a partir de una diagonalización de $\mathrm{\Sigma }=V{S}^2{V}^T$ se obtienen unos “componentes principales normalizados” $\nu =\nu =S^{-1}{V}^{T}y$ que son variables de distribución normal $N(0,1)$ independientes entre sí, por lo que se puede aplicar la fórmula ${\chi }^2$. Deshaciendo el cambio de variable, resulta que la probabilidad de que la variable con distribución normal $y$ esté dentro del elipsoide $y^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}y\le \text{chi2inv(p,m)}$ es p.

Colección completa [VER]:

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