Mínimos cuadrados ponderados en control (II): exceso de entradas

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ** ,       Relevancia: ,      Duración: 09:20

Resumen:

Este vídeo discute la aplicación a un problema de control (estático) $y=Gu$ con 2 salidas y 4 entradas de la pseudoinversa para ajustar $u$ por mínimos cuadrados para intentar conseguir minimizar $\parallel u{\parallel }_2$ entre todas las soluciones tales que $r=Gu$, siendo $r$ una referencia deseada para la salida $y$. La pseudoinversa se discute en la revisión matemática sobre matrices (vídeo [matrix]) y en la solución del problema de mínimos cuadrados (vídeo [optimLS]).

Tras plantear los mínimos cuadrados no ponderados $u^{\ast }=pinv(G)r$, se plantea un caso ponderado donde se construye un peso para minimizar ${\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^4{(w_i{u}_i)}^2$ sujeto a $r=Gu$.

La parte final del vídeo plantea construir el peso como la inversa de unos “umbrales disponibles para cada actuador”; por ejemplo, debido a saturación, se desea que $|u_i|<{\gamma }_i$ siendo ${\gamma }_i$ determinado por el incremento disponible hasta saturar. Se construye una entrada escalada $u_{esc,i}=u_i∕{\gamma }_i$ y se plantea un problema de mínimos cuadrados ponderados asociado, de modo que si el control escalado es menor que 1 (bien como máximo de valor absoluto de elementos –geometría de hipercubos–, bien como norma del vector –geometría de esferas–) se garantiza que los actuadores están por debajo del umbral buscado.

Aunque formalmente es equivalente al “peso $w_i$” estos umbrales y escalados facilitan cálculos e interpretaciones prácticas, por ejemplo en los escalados de las entradas para controlabilidad entrada-salida del vídeo [sa3ref].

Colección completa [VER]:

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