Mínimos cuadrados ponderados en control (I): exceso de salidas

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ** ,       Relevancia: ,      Duración: 13:09

Resumen:

Este vídeo discute la aplicación a un problema de control (estático) $y=Gu$ con 12 salidas y 4 entradas de la pseudoinversa para ajustar $u$ por mínimos cuadrados para intentar conseguir minimizar $\parallel r-Gu{\parallel }_2$. La pseudoinversa se discute en la revisión matemática sobre matrices (vídeo [matrix]) y en la solución del problema de mínimos cuadrados (vídeo [optimLS]).

Tras plantear los mínimos cuadrados no ponderados $u^{\ast }=pinv(G)r$, se plantea un caso ponderado donde se construye un peso para minimizar ${\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^{1}2{(w_i(r_i-y_i))}^2$.

La parte final del vídeo plantea construir el peso como la inversa de unos “umbrales deseados de error”, por ejemplo se desea que $|e_i|<{\beta }_i$ siendo ${\beta }_i$ arbitrario. Se construye un error escalado $e_{esc,i}=e_i∕{\beta }_i$ y se plantea un problema de mínimos cuadrados ponderados asociado, de modo que si el error escalado es menor que 1 (bien como máximo de valor absoluto de elementos –geometría de hipercubos–, bien como norma del vector –geometría de esferas–) se garantiza que los errores están por debajo del umbral buscado.

Aunque formalmente es equivalente al “peso $w_i$” estos umbrales y escalados facilitan cálculos e interpretaciones prácticas, por ejemplo en los escalados de las salidas para controlabilidad entrada-salida del vídeo [sa3ref].

Colección completa [VER]:

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