Optimización de parámetros de reguladores con ode45+fminunc: planteamiento del problema y ejemplo

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:10

Resumen:

Dado que Simulink internamente transforma los diagramas de bloques a código usable por los integradores numéricos (ode45, etc.), si dichas manipulaciones se realizan por el programador, se pueden resolver problemas de control óptimo usando el mencionado ode45 y el comando fminunc de la Optimization Toolbox (o, opcionalmente, fmincon si se desea incluir restricciones o cotas que determinen la región de parámetros a explorar).

Si el lector no tiene familiaridad con la representación interna (variables de estado) de sistemas dinámicos e integración numérica, se le recomienda visionar los vídeos [estado2], [ssmmaB] y [sim1] antes de continuar con éste.

Este vídeo plantea un problema de control óptimo sobre un modelo de péndulo en su punto de equilibrio superior inestable. Como ode45 trabaja con la representación en variables de estado $\frac{dx}{dt}=f(t,x)$, se detallan:

• El modelo en representación interna en bucle abierto $\frac{dx}{dt}=f(x,u)$ invariante en el tiempo, siendo el vector de estado el vector $x={(p,v)}^T$ con la posición y la velocidad.

• La parametrización elegida (regulador PD, pero como la referencia es constante igual a cero –pto. func.– se puede simplificar a $u=-K_{p}p-K_{v}v$, que en teoría de control se denomina realimentación del estado. El vector $𝜃=(K_p,K_v)$ serán los parámetros ajustables de este problema, expresando el controlador con $u(x,𝜃)$.

• Las ecuaciones en bucle cerrado: $\frac{dx}{dt}=f(x,u(x,𝜃))=g(x,𝜃)$.

• El índice de coste cuadrático $c(x,u)=q_1{p}^2+q_2{v}^2+r{u}^2=q_1{x}_1^2+q_2{x}_2^2+r{u}^2$ a utilizar (objetivo: minimizar su integral)... en la literatura, se suele denominar a $c(x,u)$ el coste inmediato, para distinguirlo del coste acumulado $J={\int }_0^{T_f}c(x(t),u(t))dt$.

Este vídeo discute las fases iniciales de modelado y planteamiento del problema; el código de simulación y optimización es discutido en detalle en el vídeo [optode2], continuación de éste.

Nota: En este vídeo, el controlador no tiene dinámica (es “realimentación del estado”, posición y velocidad medidas ambas); el vídeo [bcode45] simula un bucle cerrado con un regulador dinámico construyendo las ecuaciones de estado en bucle cerrado con código Matlab, sin interfaz gráfica de usuario, a partir de las ecuaciones de estado del proceso y el controlador. Se aconseja su visualización para comprender cómo se optimizarían controladores con estado interno.

Colección completa [VER]:

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