Predicción condicional de una variable aleatoria dada otra estadísticamente dependiente

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 11:00

Resumen:

Este vídeo define los conceptos asociados a la predicción de una variable $y$ dada otra $x$ (información, que se supone es estadísticamente dependiente, en algún modo, de $y$): básicamente la mejor predicción sería la función de densidad condicional $f(y|x)$. Con un modelo de la función de densidad conjunta $f(x,y)$, podríamos decir $f(y|x)=\frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx}$, pero en general la densidad condicional resulta de difícil cálculo y manejo. Por ello, como en el vídeo [pre1], se plantea la conveniencia de utilizar predicciones condicionales puntuales. La moda o la media de dicha densidad condicional son los obvios candidatos.

En concreto, se propone como predicción óptima puntual a la media condicional, esto es $E[y|x]=\int yf(y|x)dy$. Tiene, como propiedad de interés, el ser aquella que minimiza $E[{(y-\xi (x))}^2]$ para toda posible función $\xi (x)$. No obstante, se argumenta que este concepto es, también, difícil de calcular y manejar (experimentalmente se requerirían “muchas” muestras a promediar para cada valor de $x$, lo cual es imposible en variables $x$ reales). Por ello, en la práctica se ajustan funciones más sencillas, como por ejemplo la “regresión lineal”, cuya interpretación en términos estadísticos es el objetivo de los vídeos [preli1] a [prelim].

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