Cálculo norma infinito de sistemas lineales (II): Método matriz hamiltoniana

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 16:26

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Resumen:

Este vídeo es continuación del [ninfa]. Primero, se revisan en un minuto y medio los anteriores preliminares. A cotinuación, dado un sistema $G$, se motiva la definición del sistema adjunto $G^{\sim }=G^T(-s)$, dado que el cuadrado de la respuesta en frecuencia de $G$ viene dado por la respuesta en frecuencia de $\Phi :=G^{\sim }G$.

Dado un cierto $\gamma >0$, arbitrario y prefijado, la norma infinito de $G$ es menor de $\gamma$ si y sólo si la de $\Phi$ es menor de ${\gamma }^2$.

Como la respuesta en frecuencia de de $\Phi$ es real, eso es lo mismo que decir que $\Theta :={\gamma }^{2}I-G^{\sim }G$ no pase por cero en el eje imaginario. Se argumenta que para que ello ocurra, la respuesta en frecuencia de $\Theta :={\gamma }^{2}I-G^{\sim }G$ no debe anularse en ningún punto del eje imaginario, lo que significa que el sistema lineal $\Theta$ no debe tener ceros imaginarios puros o, lo que es lo mismo, ${\Theta }^{-1}$ no debe tener polos imaginarios puros. Manipulaciones algebraicas permiten obtener la representación interna del sistema lineal ${\Theta }^{-1}$ y su matriz de estado ($H$), para comprobar si tiene o no autovalores imaginarios puros.

Con este resultado, se puede plantear una optimización por bisección para calcular la norma infinito con la precisión que se desee.

Nota: este vídeo es únicamente de interés para comprender qué realiza el comando norm de Matlab, con contenido relativamente difícil y especializado que puede ser saltado sin que suponga inconveniente para la comprensión del resto de conceptos importantes “prácticos” para ingeniería de control en este capítulo.

También, en sistemas discretos, la “continuización” mediante la transformación bilineal preserva el pico de la respuesta en frecuencia (aunque se produzca a valores diferentes de dicha frecuencia). Por tanto, para calcular la norma infinito de un sistema lineal discreto, puede continuizarse y aplicarse los resultados del vídeo [ninfb] al sistema contínuo resultante, sin introducir ningún tipo de error por dicha transformación. Esta continuización también podría aplicarse al disen~o de reguladores $H_{\infty }$.