DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

 

    · Valores y vectores propios

    · Semejanza de matrices

    · Diagonalización de matrices reales

    · Diagonalización de matrices reales simétricas

    · Ejercicios resueltos

 

Temas relacionados:

Sistemas de Ecuaciones Lineales, Matrices, Determinantes.

 

·      Valores y vectores propios

Sea A una matriz de tamaño n´n: 

i). Un número real l es un valor propio de A si para algún vector no nulo u de Ân:  

Au = lu

ii) El vector no nulo u que satisface dicha ecuación, se llama vector propio de A asociado al valor propio l.

  iii) El polinomio característico de esta matriz es el polinomio

qA(l) = det(lI-A)

 ·        Multiplicidad algebraica

         Se llama multiplicidad algebraica de un valor propio, a su multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, al número de veces que aparece como raíz de dicho polinomio.

 ·        Multiplicidad geométrica

         Se llama multiplicidad geométrica a la dimensión del subespacio propio EA(l), es decir al conjunto de vectores asociados a un valor propio l concreto (incluyendo el vector nulo).

Sea A una matriz cuadrada. Equivalen:

·  l es un valor propio de A.

·  El subespacio vectorial asociado a l es distinto de 0.

·  La matriz lI – A no es invertible.

 

Sea A una matriz cuadrada. Entonces:

·    Un vector propio de A está asociado a un único valor propio.

·   A y AT tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas (pero no los mismos vectores propios)

·  Si l es valor propio de A y k³1, entonces lk es un valor propio de Ak.

·  Si A es triangular (superior o inferior) entonces sus valores propios son los elementos diagonales.

  

·      Semejanza de matrices

             Sean A y B dos matrices cuadradas. Se dice que A y B son semejantes si existe una matriz invertible T, tal que

A = T B T-1     ó     B= T-1 A T 

            La relación de semejanza es una relación de equivalencia (cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva). 

Si A y B son semejantes:

(i). Tienen el mismo polinomio característico

(ii). Tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.         

·        Traza de una matriz

Sean A una matriz cuadrada. Se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal de A.                   

Si A y B son dos matrices semejantes cuadradas:

             (i)  det A = det B

             (ii)  rg A = rg B

             (iii) tr A = tr B          

 

·      Diagonalización de matrices reales

         Una matriz A cuadrada n´n es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, D = T-1 A T.

Donde li (i=1,...,n) son los valores propios  y vi (i=1,...,n)  los vectores propios dispuestos en columnas. 

Si A es una matriz diagonalizable, entonces:

· Tiene n vectores propios linealmente independientes

· La suma de las dimensiones de los subespacios propios es n

· Si l0 es un valor propio de A de multiplicidad algebraica m 0, entonces 

1 £ dim EA(l 0) £ m 0

·La multiplicidad algebraica de cada valor propio de A, coincide con la dimensión del subespacio propio correspondiente.

El recíproco no tiene por qué ser cierto.

 

·      Diagonalización de matrices reales simétricas

             Las matrices simétricas siempre se pueden diagonalizar. Poseen las siguientes características: 

· Los vectores propios asociados son ortogonales respecto al producto escalar canónico.

· Tiene al menos un valor propio real.

· Toda matriz simétrica es diagonalizable por una matriz ortogonal:

D = Q-1 A Q = QT A Q

 ·        Matriz Ortogonal

        Una matriz cuadrada será ortogonal si sus columnas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico

QTQ = I

 ·        Teorema espectral

         Si una matriz A es una matriz simétrica, entonces existe una base ortonormal de Ân formada por los vectores propios de A.

         Se llaman valores singulares de una matriz real A, cuadrada, a las raíces cuadradas positivas de los valores propios de la matriz ATA. Notar que ATA es una matriz simétrica y por ello diagonalizable.

         Se llaman valores singulares de una matriz real A, no cuadrada, a las raíces cuadradas positivas de los valores propios comunes de las matrices ATA y AAT.

  

·      Ejercicios resueltos

  

1) Calcula los valores y vectores propios de las matrices siguientes:

       

 

Observa que es una matriz triangular

 Vamos a hallar los vectores propios correspondientes a cada valor propio.

 

c).

Observar que C es simétrica

 

2) Indica cuáles de las matrices del ejercicio anterior son diagonalizables y calcula la matriz diagonal en cada caso, así como la matriz de paso.

 

3). Siendo a Î R, calcúlense los valores propios de la matriz:

  Calcúlese la dimensión de los subespacios propios, según el valor que tome a. Dígase si A es diagonalizable para algún valor de a.

  Solución:

 

Desarrollando por la primera fila:

 

Sacando factor común:

 

Aplicando la fórmula (a+b)(a-b)=a2-b2

 

·      Si , de la primera ecuación tenemos:

        y sustituyendo en la segunda ecuación:

    , con lo que

 

            La tercera y cuarta ecuación son equivalentes, y si

 

                        Caso 1. tenemos que

 

Así pues, dim EA(2)={(0,0,-1,1)} y A no es diagonalizable

 

                        Caso 2.

                                   

 

·      Si , de la segunda ecuación tenemos:  

        y sustituyendo en la primera ecuación:

         , con lo que 

 

Llegamos, como en el estudio anterior:

 

Caso 1.       tenemos que

 

 

Así pues, dim EA(2)=1 y A no es diagonalizable

 

Caso 2.      CASO YA ESTUDIADO

 

 

 

·      Si 

 

        ,   ,  

 

 

Así pues, dim EA(2)=1 y A no es diagonalizable

 

Si

 

        ,   ,  

 

 

Así pues, dim EA(2)=1 yA no es diagonalizable

 

 

 

Resumiendo, para el valor propio 2, la matriz únicamente es diagonalizable si a = 1.

 

 

·      Si  ,  la primera y segunda ecuación son equivalentes:

        y si sumamos la tercera y la cuarta 

 

       

 

        Así pues, dim EA(3)=1 y A no es diagonalizable

     

·      Si  , 

       

 

Por tanto  A es diagonalizable.

 

Resumiendo, para el valor propio 3, la matriz únicamente es diagonalizable si a = 0.