·  7.11. Estudio de los puntos de inflexión de una función

         Se hallan las raíces de la ecuación  ,  que son los posibles puntos de inflexión. Después, para averiguar si lo son o no, se puede recurrir al estudio de los intervalos de concavidad y convexidad, o bien a la condición suficiente. Si se aplica este último método puede darse el caso dudoso   y  .

Ejemplos:

   a)  Retomemos la función  , cuyos intervalos de crecimien­to y de decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos ya estudia­mos en los apartados anteriores. Ahora se trata de estudiar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

         Si elegimos el primero de los caminos, partiremos de la segunda deri­va­da, que ya teníamos hallada, , e, igualándola a cero, resol­veremos la ecuación correspondiente:

           ®     ®    (posibles puntos de inflexión)

         Como el dominio de esta derivada segunda es ℝ, por ser polinómica, habrá que estudiar el signo de f’’ en los siguientes intervalos:

         Si elegimos el segundo camino, después de obtener los posibles puntos de inflexión,   y   , hallaremos la derivada tercera a la cual “preguntaremos” si realmente estos puntos son de inflexión.

Por tanto,

           Þ  f  punto de inflexión en

            Þ  f  punto de inflexión en

         En ambos casos  se ha obtenido sustituyendo x por en .

   b)  Retomemos ahora el segundo ejemplo del apartado anterior, es decir,

Como ya teníamos hallada la derivada segunda  , sólo tendremos que igualarla a cero y resolver la ecuación obtenida. Pero en este caso

      no tiene solución, ya que sólo el numerador habría de ser 0

         Por tanto, esta función no tendrá puntos de inflexión.

   c)  Como el anterior ejemplo de función racional no ha tenido puntos de inflexión, quisiéramos añadir uno más que sí los tenga.

         Sea . Su derivada primera será

         Y su derivada segunda:

           y, sin olvidar simplificar,

         Igualándola a cero, tenemos la ecuación

            ®     ®      ®    que son

los posibles puntos de inflexión. Como el dominio de  f’’  es ℝ  puesto que su denominador no se anula por ser una suma de cuadrados (elevada al cubo), sólo hemos de estudiar el signo de f’’  en los siguientes intervalos:

Todo ello si elegimos el primer procedimiento. Si hubiéramos optado por el segundo, una vez hallados los posibles puntos de inflexión, habremos de hallar la derivada tercera que será

          ¡simplificando!

        Y sustituyendo en ella los posibles puntos de inflexión:

  Þ  f  punto de inflexión en el punto , donde .

    Þ   f  punto de inflexión en el punto , donde

como habíamos hallado por el proceso anterior.

El alumno habrá sin duda observado que los cálculos con las derivadas segunda y tercera pueden hacerse a veces un poco “largos”, pero la práctica le ha de ser, indudablemente, de gran utilidad.