7.12. Máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado

Definiciones:

El máximo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo.

El mínimo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el menor valor que toma la función en todo el intervalo.

         Si nos planteamos el problema de hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función   en un intervalo cerrado , habremos de considerar tres clases de puntos:

a)     los puntos críticos o singulares de f en .

b)    Los extremos a y b.

c)     Los puntos de  en los que f no es derivable.

Si x es un punto máximo o mínimo absoluto de  f  sobre  , entonces x será un punto de una de las tres clases arriba citadas.

El procedimiento para calcular el máximo y el mínimo de una función  f  en un intervalo cerrado  es bastante sencillo:

a)     Primero se calcula  para todos aquellos puntos x para los cuales , es decir el valor de la función en los puntos críticos.

b)    Después se calcula  en los puntos x en los  que f no es derivable.

c)     Finalmente se calculan  y

El mayor de todos estos valores será el máximo absoluto, y el menor de todos ellos será el mínimo absoluto.

Ejemplo:

a)  Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función

                en el intervalo .

En primer lugar derivaremos la función:

Luego igualamos esa primera derivada a cero:  

y resolvemos la ecuación así obtenida. En este caso 

El valor  está en el intervalo , luego el primer conjunto de “candidatos” a máximos o mínimos es

El segundo conjunto contiene a los extremos del intervalo:

El tercer conjunto (el conjunto de los puntos donde la función no es derivable) no tiene ningún valor en este caso, pues la función es derivable en todos los puntos del intervalo (es un polinomio y sabemos que todos los polinomios son derivables en cualquier punto de su dominio hasta el orden que deseemos).

Por último, sólo tenemos que calcular los valores que toma la función en esos puntos:  

Por lo tanto el mínimo absoluto es , en el punto , y el máximo absoluto es 20, en el punto .