3. Función derivada. Recta Normal

· 3.1. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

    Si       Q  P   Þ   la recta secante PQ ® recta tangente en P  Þ   j ® a   Þ   tg j =  ® tg a   Þ 

         Por si el alumno no llega a seguir claramente la línea de razonamiento propuesta de forma simbólica en el proceso anterior, intentaremos explicarla “con palabras”:

         A medida que el incremento de x va decreciendo, el punto Q irá desplazándose hacia el punto P hasta llegar prácticamente a superponérsele cuando , de manera que la recta secante que pasa por P y por Q tenderá a “convertirse” en recta tangente a la curva en P. Consecuentemente, el ángulo φ que formaba dicha recta secante con el sentido positivo del eje OX tenderá a “convertirse” en el ángulo α que forma la recta tangente a la curva en P con dicho sentido positivo del eje X. Por tanto, evidentemente, tg j ® tg a , y así, finalmente, la derivada , que es el , será igual a la tg α , que, como sabemos, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.

Resumiendo, pues,

 Se dice que “la curva pasa por P con pendiente ”.

·  3.2. Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

         Recordando la ecuación “punto-pendiente” de una recta en el plano cartesiano, la ecuación de la recta tangente a la curva  en el punto P será:

                  o bien          

·  3.3 Ecuación de la recta normal a una curva en un punto

Como la recta normal a una curva en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto, su pendiente será la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente, y, por tanto,

                                           o bien        

         Como de momento “sólo sabemos” (por haberlo hallado antes) que la deri­vada de la función  en el punto  vale 6 , y en el punto  vale –4 , sólo podremos poner como ejemplo las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en uno de esos dos puntos. En el punto , hallando previamente la imagen , tendremos:

         Tangente   

         Normal   

Consideramos que es importante resaltar la “equivalencia” entre el hecho de que una función  sea derivable en un punto  y el hecho de que la curva  tenga recta tangente en el punto  P.