Aproximación de sistemas lineales de orden superior a primer/segundo orden + retardo: enfoque serie de Taylor

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:25

Resumen:

En este vídeo se plantea cómo reducir un proceso de orden superior, en concreto $G(s)=\frac{3(-0.15s+1)e^{-0.06s}}{(1.1s+1)(0.5s+1){(0.1s+1)}^3}$ a un modelo de primer orden + retardo o de segundo orden + retardo.

La motivación es debido a que los modelos de primer/segundo orden + retardo son habituales como modelos de procesos (fáciles de identificar ante un experimento escalón, vídeos [fopd], [procest]). También existen técnicas de ajuste de PIDs óptimos o via IMC (vídeos [imcpid], [simcml]) para esa clase de procesos.

La idea básica es la serie de Taylor... hasta grado 1 (término $s$ de dicha serie) podemos aproximar $e^{-\tau s}\approx \frac{1}{\tau s+1}\approx 1-\tau s$. Con ello, se puede cambiar el cero $(-0.15s+1)$ por un retardo de 0.15 y los polos $(0.5s+1){(0.1s+1)}^3$ por un retardo de 0.8. Si se desea un modelo de segundo orden + retardo, sólo habría que cambiar el cero $(-0.15s+1)$ por un retardo de 0.15 y los polos ${(0.1s+1)}^3$ por un retardo de 0.3.

Si se admite modificar las constantes de tiempo del modelo resultante (que no coincidiera con la del polo dominante, esto es, 1.1), entonces se puede lograr la coincidencia de términos hasta grado dos ($s^2$) del desarrollo en serie de Taylor de $G(s)$ y de $\frac{1}{\tau s+1}{e}^{-ds}$.

El uso de la serie de Taylor implica que la aproximación es válida cerca de $s=0$, o sea, cerca de $\omega =0$ (frecuencias bajas) si consideramos la aproximación en el dominio de la frecuencia.

La coincidencia de las series de Taylor hasta un cierto orden entre una función (a aproximar) y otra función parametrizada de diferente estructura (por ejemplo, cociente de polinomios) es la idea fundamental que está detrás de la aproximación de Padé. En el caso del retardo, se aborda en el vídeo [aproxret].

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