Prestaciones robustas (teoría)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** / *****  ,       Relevancia: ,      Duración: 19:59

Resumen:

– Planteamiento del problema.

– Planta generalizada $3\times 3$ con incertidumbre, conexión LFT. Escalado –Este escalado inicial no tiene nada que ver con el teorema de “pequen~a ganancia escalado” que se usará luego, ver nota al pie–.

• Se supone que la planta generalizada está adecuadamente ponderada con escalados (constantes) o/y pesos en frecuencia necesarios para formar la planta generalizada $3\times 3$ de modo que el taman~o máximo de la incertidumbre $\mathrm{\Delta }$ sea 1, y que las prestaciones estén garantizadas si determinadas salidas tienen norma menor a 1 cuando las entradas exógenas (perturbaciones/referencias) tienen norma menor a 1.

Casos particulares:

• $\mathrm{\Delta }\equiv 0$, es el problema del control óptimo $H_{\infty }$ sobre el modelo en planta generalizada “nominal”.

• Cerrando el bucle con $K$ conocido, es el análisis de estabilidad por pequen~a ganancia.

– Prestaciones robustas: planteamiento formal, $\parallel lft(P(\mathrm{\Delta }),K){\parallel }_{\infty }\le 1$.

– Teorema principal: si $\parallel P{\parallel }_{\infty }\le 1$, entonces $\parallel lft(P,Q){\parallel }_{\infty }\le 1$ para todo $Q$ tal que $\parallel Q{\parallel }_{\infty }\le 1$. NOTA: el vídeo [prth1EN] (en inglés) detalla en más profundidad esta idea.

– Corolario: disen~o con prestaciones robustas mediante la optimización $H_{\infty }$.

– El caso anterior es conservativo. Para mejorarlo se usa el teorema de pequen~a ganancia escalado que modifica la planta generalizada aprovechando la existencia de multiplicadores $S$ que verifiquen $S\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }S$, esto es, $\mathrm{\Delta }=S^{-1}S\mathrm{\Delta }=S^{-1}\mathrm{\Delta }S$, el multiplicador no es ningún “escalado/cambio de unidades” físico, sino una variable de decisión intermedia que reduce el conservadurismo.

En efecto, este “escalado” del teorema es la terminología tradicional en la literatura “teórica” para denominar a este importante resultado, pero no tiene el significado “físico” de los escalados/pesos en frecuencia para formar la planta generalizada que hemos mencionado arriba en el planteamiento del problema... quizás hubiera convenido en “ingeniería” de control denominarlo “teorema de pequen~a ganancia con multiplicadores”.

– Enunciado del teorema, planteamiento de la optimización conjunta del controlador $K$ y el multiplicador $S=\sigma I$, con $\sigma \in ℝ$ (el único multiplicador admisible ante incertidumbre no estructurada).

Ejemplos de aplicación directa de las ideas aquí discutidas aparecen en el vídeo [cerp3], en los [prhrp] y [prhrp2], así como en el caso de estudio de un depósito de los vídeos [dsnl3] y [dsnl4].

También la Robust Control Toolbox de Matlab tiene código que realiza este tipo de búsqueda de multiplicadores, con el comando musyn; ejemplos de uso de este comando también están incorporados en esta colección.

English version (of the central theoretical content) at video [prth1EN].

Colección completa [VER]:

• Anterior   Control PID de un doble integrador disen~ado mediante H-infinito, ejemplo Matlab: freqsep, hinfstruct

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