Capítulo 31
El enfoque LMI a control robusto y planificación de ganancia (DRAFT)

Desigualdades Matriciales Lineales

Las desigualdades matriciales lineales (linear matrix inequalities, LMI) son un tipo de restricciones y problemas de optimización convexa asociados, que datan de alrededor de 1990, que tienen un papel fundamental en problemas geométricos, diseño de controladores y incluso análisis de datos multivariables.

Las desigualdades matriciales lineales se han convertido, a partir de mediados de los años 1990, en una herramienta numérica capaz de obtener soluciones a problemas complejos de control óptimo y robusto (de hecho, los problemas LQR, $H_2$ y $H_{\infty }$ pueden ser formulados como LMIs.

El desarrollo completo de estas ideas daría lugar a un libro completo... el libro de texto seminal en gran parte de estos aspectos fue https://web.stanford.edu/~boyd/lmibook/lmibook.pdf, cuya lectura se recomienda a estudiantes avanzados/Doctorado (su nivel matemático puede ser excesivo para perfiles de Grado o Máster en ingeniería). También el libro https://www.wiley.com/en-es/Fuzzy+Control+Systems+Design+and+Analysis:+A+Linear+Matrix+Inequality+Approach-p-9780471465225 es una referencia especializada en las aplicaciones a control de las desigualdades matriciales lineales desarrolladas en los años 1990; se basa en el libro de Boyd, pero es, quizás más accesible (o al menos tiene más ejemplos y un lenguaje algo menos formal).

Aquí incluyo desarrollos y ejemplos Matlab que cubren parcialmente determinados aspectos para los que, por una razón u otra, sí que tengo código o material teórico elaborado.

31.1 Problemas geométricos resolubles con LMIs

31.1.1 Condicionamiento mínimo

Esta sección presenta un ejemplo de aplicación a condicionamiento de plantas, usando el solver LMILab de la Robust Control Toolbox de Matlab.

[874: mincond]  Minimización de número de condición ante escalado diagonal (teoría) *****  15:49

El vídeo [ unfoldm(14:55)] también aplica este tipo de desigualdades al problema de “desdoble isométrico” en análisis de datos multidimensionales.

31.1.2 Geometría de elipses y elipsoides

[875: lmielout1EN]  LMIs: Ellipsoid containing other ellipsoids/polyhedra, Yalmip/Sedumi/Matlab (1): minimum major axis ****  18:43

[876: lmielout2EN]  LMIs: Ellipsoid containing other ellipsoids/polyhedra, Yalmip/Sedumi/Matlab (2): minimum area ****  09:39

[877: lmielin1EN]  LMI demos: largest ellipse inside other poliedra/ellipses (1) ****  16:49

[878: lmielin2EN]  LMI demos: largest ellipse inside other poliedra/ellipses (2), largest area (geomean) *****  16:18

[879: elinncEN]  Maximum volume ellipsoid inside polyhedron and other ellipsoids: 2D example, Matlab (LMI/SDP) *****  15:36

31.1.3 Conjuntos representables LMI/SDP

[880: lmisets1EN]  LMI sets (SDP-representable sets, spectrahedra): definition, basic properties and 2D examples ****  17:42

[881: lmisets2EN]  Lifted LMI sets, 2D examples (Matlab, YALMIP) ****  13:56

[882: lmisets3EN]  LMI sets (3): plotting routine and applications ****  09:54

[883: lmisets4EN]  LMI sets (4): scaling, perspective cones, set interpolation, convex hull *****  20:15

31.1.4 Distancia Mínima entre elipses (o, en general, LMI sets)

[884: distelliEN]  Distance between ellipses: semidefinite programming (SDP/LMI, linear matrix inequalities) ****  10:59

[885: distlmisetEN]  Distance between ’LMI sets’: semidefinite programming, intersection of ellipses example SeDuMi, Yalmip. ****  06:31

31.2 Control de coste garantizado

El problema de control óptimo LQR resuelto mediante desigualdades matriciales lineales fue abordado en el vídeo [ lqrlmi(09:35)], aunque no aportaba en el caso lineal nada nuevo respecto a la solución clásica basada en ecuación de Riccati. Aquí se presentan extensiones del mismo a problemas robustos, no lineales, etc. que ya sólo son posibles en el enfoque LMI.

[886: lqrlmiro]  Control robusto (coste LQR garantizado) de procesos lineales politópicos con desigualdades matriciales lineales (LMI): teoría y ejemplo Matlab ****  11:00

[887: lqrgs1]  Control con planificación de ganancia para sistemas politópicos via LMIs: planteamiento e introducción ****  11:58

[888: modelgs]  Modelado de sistemas lineales politópicos para planificación de ganancia ****  08:11

[889: lqrgsno]  Planificación de ganancia interpolando diseños LQR lineales (método ERRÓNEO, como prueban las LMIs) ***  10:59

[890: lqrgs2]  Control con planificación de ganancia para sistemas politópicos: condiciones LMI de síntesis *****  10:27

[891: lqrgsml]  Control robusto y por planificación de ganancia en un sistema de 8 vértices: ejemplo Matlab ****  10:59