Identificación de respuesta impulsional discreta con regularización Kernel: ejemplo modelos a priori

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:52

Resumen:

Este vídeo aborda la regularización de la identificación de la respuesta ante impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo (discreto) con un prior gaussiano descrito por un cierto Kernel de covarianza.

Las ideas teóricas principales se discuten en el vídeo [impulkerT], que se resume en este vídeo hasta el instante [01:40]. Su visualización (asi como otros vídeos con materal preliminar ahí referidos) es necesaria para poder comprender bien este vídeo para una audiencia no familiarizada.

La idea principal es el hecho de que la respuesta impulsional $h(t)$ de un sistema (muestrado a una frecuencia suficientemente alta, posiblemente, si los datos vienen del mundo contínuo) no es algo “aleatorio”, sino una función relativamente “suave” con poca probabilidad de que tenga grandes cambios a “alta frecuencia”.

Las funciones aleatorias del tiempo donde se especifica una medida de probabilidad de que haya variabilidad diferente según la “frecuencia” pueden ser modeladas como procesos estocásticos gaussianos con una cierta función de covarianza $\kappa (t_1,t_2)$. Como el tiempo es discreto, hablaremos de $\kappa (i,j)$, $i=0,\dots ,n$, $j=0,\dots ,n$ siendo $n=orden-1$ con orden el número de parámetros a estimar.

Este vídeo plantea ejemplos concretos de $\kappa (i,j)$:

• $\kappa =M\cdot e^{{(j-i)}^2∕2∕{\tau }^2}$, squared exponential o “filtro Gaussiano”

• El proceso de Wiener (paseo aleatorio) con transformación exponencial de argumentos $\kappa =M\cdot \text{min}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(e^{-i∕\tau },e^{-j∕\tau })$.

• El proceso de Wiener integrado (aceleración ruido blanco), también con transformación exponencial.

Los procesos estocásticos Wiener y Wiener integrado son también explorados en el video [wienkrig] en un contexto de filtrado/ridge regression, cuya visualización podría ser de interés. Nótese, sin embargo, que el planteamiento del problema es muy diferente: en ese vídeo se busca interpolar/extrapolar muestras faltantes, y ese no es el caso aquí.

En concreto, se ponen ejemplos de hiperparámetros $M$ y $\tau$ y se analiza la desviación típica a priori (raíz cuadrada de diagonal de $K=\kappa (0:n,0:n)$), los componentes principales Karhunen-Loève (vídeo [karhloevml]) y la forma que tienen unas cuantas realizaciones de los mismos (vídeo [dadogaus]), para entender su validez como estimados “a priori” de respuestas impulsionales de sistemas estables.

La conclusión es que estamos haciendo regularización porque unos “pocos” componentes principales explican gran parte de la variabilidad a priori de $h(t)$, y las realizaciones parecen “intuitivamente razonables”.

El ejemplo de identificación propiamente dicha con estos procesos estocásticos como prior (mediante los kernels asociados aquí explorados), se aborda en el vídeo [impulkerM2], continuación de éste.

Colección completa [VER]:

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