Identificación de respuesta impulsional discreta con regularización Kernel: ejemplo Matlab

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:58

Resumen:

Este vídeo aborda la regularización de la identificación de la respuesta ante impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo (discreto) con un prior gaussiano descrito por un cierto Kernel de covarianza. Es continuación de los vídeos [impulkerT] y [impulkerM1], que deberían ser visualizados previamente, aunque aquí se dedica hasta el instante [02:10] a revisarlo.

La idea principal es el hecho de que la respuesta impulsional $h(t)$ de un sistema (muestrado a una frecuencia suficientemente alta, posiblemente, si los datos vienen del mundo contínuo) no es algo “aleatorio”, sino una función relativamente “suave” con poca probabilidad de que tenga grandes cambios a “alta frecuencia”, que puede ser modeladas como proceso estocástico con una cierta función de covarianza $\kappa (t_1,t_2)$.

Un enfoque “clásico” de mínimos cuadrados a este problema de identificación se detalla en el vídeo [impulid]. La regularización por truncación se aborda en detalle en el vídeo [impulidreg]; esta regularización será comparada con la opción Kernel discutida aquí. Las ideas principales de estos vídeos se resumen desde el instante [02:10] al [03:05].

Se compararán los resultados con Kernels exponencial cuadrático, Wiener y Wiener integrado (con transformación $e^{-t∕\tau }$), descritos en el vídeo [impulkerM1].

En todos ellos hay unos hiperparámetros (es la nomenclatura usual en literatura, porque llamaremos “parámetros” a los elementos de la respuesta impulso a estimar) de desviación típica y constante de tiempo $\tau$. Se escogeran los parámetros que menor error ante datos de validación produzcan, siendo buscados con optimización “fuerza bruta” (por simplicidad), siguiendo las ideas del vídeo [optimkern], cuya visualización previa es aconsejable.

Se comprueba que el kernel exponencial cuadrático filtra los datos no regularizados pero no fuerza que la respuesta impulso identificada tienda a cero, porque era estacionario (varianza constante). Los no estacionarios sí que producen estimados regularizados que tienden a cero; el Wiener integrado (doble integrador de ruido) produce la respuesta impulsional más “suave” de todos, como era de esperar intuitivamente. El ajuste de este último sobre datos de validación es bueno, mejor en muchos casos que la truncación.

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