Identificación de respuesta impulsional discreta con regularización Kernel (proc. gausiano): Teoría

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 09:41

Resumen:

Este vídeo aborda la regularización de la identificación de la respuesta ante impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo (discreto) con un prior gaussiano descrito por un cierto Kernel de covarianza.

La respuesta ante impulso es la salida $\{h(t)\}$, $t=0,1,2,\dots$ ante la secuencia de entrada $\{1,0,0,0,\dots \}$.

Un enfoque “clásico” de mínimos cuadrados a este problema de identificación se detalla en el vídeo [impulid]. La regularización por truncación se aborda en el vídeo [impulidreg] y la regularización por componentes principales se aborda en el vídeo [impulidPCR]. Su visualización previa es de interés para comprender con una mejor perspectiva el caso de estudio que aquí se presenta.

Dado que el enfoque está basado en los procesos estocásticos gaussianos, se recomienda visualizar previamente los conceptos básicos en, como mínimo, los vídeos [estoc1], [estoct], [dadogaus] y [karhloevml] si no se está familarizado con las ideas presentadas en la parte final del vídeo.

La primera parte del vídeo revisa las bases teóricas preliminares: planteamiento del problema, fórmula de convolución discreta, y mínimos cuadrados hasta minuto [01:40], desde ese instante hasta [02:40] se revisan las fórmulas de mínimos cuadrados recursivos (detalle en vídeo [mcr1]).

La idea principal es el hecho de que la respuesta impulsional $h(t)$ de un sistema (muestrado a una frecuencia suficientemente alta, posiblemente, si los datos vienen del mundo contínuo) no es algo “aleatorio”, sino una función relativamente “suave” con poca probabilidad de que tenga grandes cambios a “alta frecuencia” (que, sin embargo, aparecen por culpa del ruido en problemas sin regularizar, vídeo [impulid]).

Las funciones aleatorias del tiempo donde se especifica una medida de probabilidad de que haya variabilidad diferente según la “frecuencia” pueden ser modeladas como procesos estocásticos gaussianos con una cierta función de covarianza $\kappa (t_1,t_2)$.

Como el tiempo es discreto, hablaremos de $\kappa (i,j)$, $i=0,\dots ,n$, $j=0,\dots ,n$ siendo $n=orden-1$ con orden el número de parámetros a estimar.

En el caso estacionario $\kappa =\overline{\kappa }(|t_2-t_1|)$ el reparto de la varianza en la frecuencia es la densidad espectral de potencia.

Por tanto, esta idea acabará inspirando un “prior” de $h(t)$, de la forma $N(0,\mathrm{\Sigma })$ para los mínimos cuadrados recursivos donde $\mathrm{\Sigma }$ está generado por la función $\kappa$, siendo esa estructura de $\mathrm{\Sigma }$ denominada matriz “kernel” de covarianza.

La suavidad de $h(t)$ puede ser generada por un $\overline{\kappa }$ que decrezca conforme la separación entre instantes aumente, la estabilidad con una cierta tasa (si se supone conocido a priori) deberá modelarse con un kernel no estacionario, donde $\kappa$ dependa no sólo de la diferencia de tiempos sino de los tiempos en sí. La estabilidad se codificará en el prior mediante una cierta transformación exponencial a los argumentos de $\kappa$.

Ejemplos concretos de $\kappa$ se abordan en en el vídeo [impulkerM1], continuación de éste; un ejemplo de identificación propiamente dicha se aborda en el vídeo [impulkerM2].

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