Test de hipótesis sobre media: distribución normal multivariable

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:24

Resumen:

En este vídeo se discute la teoría que generaliza el test para comprobar si una media tiene o no un valor “normal” (hipótesis $H_0$), cuyo análisis monovariable se detalló en el vídeo [thmd]. Tras motivar el problema multivariable y revisar el caso de una única variable (usando fórmulas de distribución normal o la ${\chi }_1^2$ de un grado de libertad), se pasa al caso multivariable: determinar si existe o no evidencia para rechazar la hipótesis de que la media de una variable aleatoria que haya dado lugar a unas ciertas muestras tiene un valor nominal $\mu$.

Primero, se motiva las dificultades e incorrecciones de establecer un análisis “separado” para cada una de las variables: se desprecia la correlación entre ellas, de modo que cuando una supera un cierto umbral, cambian las probabilidades de que otras variables estén por encima o debajo de sus respectivos umbrales.

Tras ello, se plantea el problema conjunto. La media muestral ($ȳ$, con $n$ muestras tomadas) de una distribución normal $N({\mu }_{q\times 1},{\mathrm{\Sigma }}_{q\times q})$ se distribuye como $N({\mu }_{q\times 1},{\mathrm{\Sigma }}_{q\times q}∕N)$. Si $\mathrm{\Sigma }=VD{V}^T$, la generalización del concepto de “desviación típica” es ahora $V{D}^{1∕2}{V}^T$ y, utilizando esta última matriz en determinados cambios de variable (blanqueado), se construye un vector de variables $\eta \sim N(0,I_{q\times q})$. Si $\mathrm{\Sigma }$ es conocida a priori, $Z^2=\parallel \eta {\parallel }^2={\eta }^T\eta ={(ȳ-\mu )}^T{(\frac{1}{n}\mathrm{\Sigma })}^{-1}(ȳ-\mu )$ se distribuye como una ${\chi }^2$ de $q$ grados de libertad, con lo que se puede generar un elipsoide de confianza en los valores de la media muestral cuyo centro sería la media nominal $\mu$.

La parte final del vídeo discute que si la matriz $\mathrm{\Sigma }$ ha sido obtenida directamente como la varianza muestral del conjunto de valores del que también se ha extraído la media, entonces la distribución ${\chi }^2$ debe cambiarse por la $T^2$ que es la generalización multidimensional de la $t$-Student introducida en la parte final del vídeo [thmd].

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