Capítulo 26
Análisis de estabilidad robusta

Aunque el condicionamiento nomérico discutido en la Sección 25.2.1 provee de una cierta idea sobre la propagación del error al multiplicarse unos datos por una matriz o su inversa, en los problemas de control estas ideas deben generalizarse a matrices de transferencia y diagramas de bloques en bucle cerrado, con el objetivo de garantizar estabilidad pese a la posible existencia de errores de modelado. Este capítulo presenta un enfoque, basado en lo que se denomina “pequen~a ganancia”, para poder abordar esos problemas en sistemas dinámicos. Por completitud, también se revisan conceptos de “márgenes” de estabilidad originados en los an~os 1940.

26.1 Los inicios (1940-60): márgenes de estabilidad asociados a criterio de Nyquist

[791: margn]  Márgenes de estabilidad basados en criterio de Nyquist: motivación y definición genérica ***  05:51

[792: margfg]  Márgenes de fase, ganancia y retardo en control monovariable ***  07:09

[793: margfgm]  Márgenes de fase, ganancia y retardo (control monovariable): ejemplo Matlab ***  09:33

Disen~o de compensadores de adelanto-atraso. Las técnicas de disen~o de reguladores que garantizan unas ciertas prestaciones (ancho de banda, tiempo de subida) y robustez (márgenes de fase y ganancia) suelen enmarcarse bajo la denominación de disen~o de compensadores de adelanto-atraso. Básicamente, el compensador de adelanto es similar a la acción PD (con filtro de ruido), y el compensador de atraso es similar a la acción PI. Son técnicas básicamente gráficas para sistemas de una entrada y una salida, originadas a mitad del siglo XX que, por brevedad, no son discutidas aquí. Se remite al lector interesado a los libros de texto adecuados. Históricamente, resultan de relevancia, porque son la primera aproximación más o menos acertada al disen~o de controladores robustos. Estas técnicas perseguían obtener controladores de un ancho de banda “razonable”, con márgenes de fase mayores de $45^o$, y márgenes de ganancia mayores de 2 ($6$ dB)... otras recomendaciones algo más exigentes indicarían intentar obtener márgenes de fase mayores de $60^o$, y márgenes de ganancia mayores de 4 ($12$ dB)... Usadas “sensatamente” en procesos sencillos dan buenos resultados, pero tienen ciertos inconvenientes, cuyo análisis es objetivo de la Sección 26.1.1. ***

26.1.1 Inconvenientes de los márgenes de fase/ganancia/retardo

[794: mgfgsi]  Margen de fase y ganancia (Nyquist): robustez a desviaciones simultaneas de fase y ganancia (Matlab) ***  08:39

[795: mgfginc]  Margen de fase y ganancia (Nyquist): inconvenientes metodológicos ****  10:47

26.1.2 Caso de estudio

Aparte de la sección anterior, se recomienda al lector revisar el vídeo [ rfbc(16:46)] sobre la evaluación de prestaciones de bucle cerrado en el dominio de la frecuencia.

[796: cerm3pid]  Caso de estudio: análisis comparativo en frecuencia de prestaciones y márgenes de estabilidad de tres PID’s ***  11:38

26.2 Teorema de pequen~a ganancia

[797: OApeqga]  Teorema pequen~a ganancia ***  10:58

Nota: Los márgenes de pequen~a ganancia son más conservativos que los márgenes que podría dar el criterio de Nyquist... a cambio, se aplica a una clase de sistemas mucho más amplia: puede garantizar estabilidad ante no-linealidades o variación en el tiempo de los sistemas interconectados.

26.3 Análisis de estabilidad robusta mediante pequen~a ganancia

26.3.1 Incertidumbre aditiva

[798: IncAdd]  Análisis de robustez ante Incertidumbre aditiva: margen de estabilidad ***  10:59

[799: IncAddML]  Análisis márgen de estabilidad ante Incertidumbre aditiva: ejemplo Matlab ***  10:59

[800: IncAd2]  Análisis márgen estabilidad ante Incertidumbre aditiva: ejemplo Matlab multivariable ****  09:56

[801: IncAd2s]  Ideas preliminares análisis márgen estabilidad ante Incertidumbre aditiva estructurada (sólo direccionalidad MIMO): ejemplo Matlab 2x2 ****  08:45

[802: ucover1]  Ucover (Matlab): estudio de su funcionamiento y conservadurismo (SISO) ****  08:19

26.3.2 Otras incertidumbres no estructuradas (multiplicativa, coprima, …)

[803: incotra]  Incertidumbre no estructurada (2): incertidumbres multiplicativas, inversas, etc. ****  21:36

[804: incf1]  Incertidumbre no estructurada en representación factorizada (coprime factor uncertainty) ****  09:33

[805: incf2]  Incertidumbre en representación factorizada: ampliación *****  20:21

Consideraciones adicionales incertidumbre factores coprimos y nu-gap metric

[806: gapm1]  incertidumbre factorización normalizada, métrica nu-gap: interpretación geométrica simplificada (real, SISO) ****  15:49 *Link to English version

[807: gapm2]  incertidumbre factorización normalizada: métrica nu-gap, caso general (sin demostraciones) ****  09:44 *Link to English version

[808: ncfesc]  Efecto del escalado en el margen ante incertidumbre en factorización coprima normalizada ****  12:18

26.3.3 Caso de Estudio

[809: cermpg3pid]  Caso de estudio: márgenes de estabilidad (pequen~a ganancia vs. Nyquist) de tres PID’s ****  10:49

Nota: Este caso de estudio sólo ha abordado un análisis de estabilidad robusta; el desarrollo es continuado, incorporando metodologías de disen~o de reguladores robustos “mixed sensitivity” y “Glover-McFarlane loop shaping” en los vídeos [ c3pidmx(13:01)] y [ c3pidncf(10:54)], respectivamente, una vez las técnicas de disen~o mencionadas hayan sido correctamente presentadas en los distintos vídeos del Capítulo 27 a continuación.