Capítulo 27
Diseño de controladores robustos ante incertidumbre no estructurada

Una vez visto en el capítulo 26 cómo analizar si un controlador preexistente, diseñado por cualquier metodología, puede tolerar unos ciertos errores de modelado sin hacerse inestable, este capítulo aborda el cómo utilizar las técnicas $H_{\infty }$ para diseñar controladores robustos (intentando, claro, mantener unas ciertas prestaciones), aprovechando los conceptos de planta generalizada y control óptimos vistos en el capítulo 19. La metodología $H_{\infty }$ es razonablemente fiable desde el punto de vista numérico y genera rápidamente controladores multivariables que solucionan este tipo de problemas. En el capítulo 28 se planteará un tipo de incertidumbre más general (estructurada, varias fuentes de incertidumbre $\mathrm{\Delta }$) y técnicas iterativas para solucionarlo; no obstante, esas nuevas técnicas son computacionalmente mucho más costosas que las que aquí se proponen y, en bastantes ocasiones, pueden fallar. También pueden minimizarse índices de costes temporales sujetos a restricciones de picos de respuesta en frecuencia con las herramientas de Simulink Response Optimization (vídeo [ sdofreq(09:26)]).

27.1 Sensibilidad mixta

La metodología de “sensibilidad mixta” (mixed sensitivity) es una metodología de diseño de reguladores para dar una forma adecuada a las funciones de transferencia (o matrices, en el caso multivariable) de bucle cerrado discutidas en el vídeo [ rfbc(16:46)], así como en el caso de estudio Matlab [ rfbcml(14:22)], cuyos contenidos se recomienda revisar para una mejor comprensión de los conceptos de esta sección.

De hecho, ya desde el punto de vista de control óptimo $H_2$ o $H_{\infty }$, sin tener consideraciones de robustez, como se van a incluir aquí, el problema de sensibilidad mixta tenía una interpretación bastante clara e interesante, como se discutió en el vídeo [ ef1(16:26)]. Lo que se hará en esta sección es comprobar que esas ideas tienen también una interpretación (dada por el teorema de pequeña ganancia) interesante en control robusto (tolerancia a errores de modelado).

[792: mxs1]  Sensibilidad mixta / mixed sensitivity (1): motivación e ideas preliminares ***  10:58

[793: mxs2]  Sensibilidad mixta / mixed sensitivity (2): planta generalizada y problema H-infinito asociado ****  10:58

[794: mxsd1]  Sensibilida mixta (discusión): relación tiempo/frecuencia, direccionalidad MIMO ***  07:22

[795: mxsd2]  Sensibilidad mixta (discusión): formas de establecer cotas de error W2, W3 ****  08:17

[796: mxsd3]  Sensibilidad mixta (discusión): problemas por cancelación y ausencia de prestaciones robustas *****  14:24

27.1.1 Ejemplos de código

[797: mxsml]  Sensibilidad Mixta (ejemplo Matlab 2o orden) ***/ ****  10:17

[798: c3pidmx]  Caso de estudio: comparativa mixedsensitivity con PIDs manuales para masa-muelle-amortiguador (Matlab) ****  13:01

Caso de estudio 2x2

[799: mxsmv]  Diseño mixed sensitivity (+ucover) en un proceso 2x2: ejemplo Matlab ****  10:57

[800: ucoversvd]  Ucover: ejemplo cobertura escalar/diagonal/SVD 2x2 ****  11:17

[801: mxsmsvd]  Mixed sensitivity+ucover (2x2): desacoplamiento SVD en prestaciones *****  10:58

27.1.2 Problemas debido a cancelaciones polo/cero y escalado

La no consideración en la planta generalizada “mixed sensitivity” de perturbaciones en la entrada $y=G(u+{\delta }_u)+{\delta }_y$ origina algunos problemas en la respuesta en bucle cerrado ante ${\delta }_u$, que afectan tanto a las “prestaciones” (cuando $G$ tiene polos lentos o poco amortiguados) como al margen de robustez ante incertidumbre coprima normalizada. Esta subsección discute dichos problemas.

[802: mxscan]  Control óptimo (sensibilidad mixta): problemas debido a cancelación de polos lentos/poco amortiguados (Matlab) ****  11:34

[803: mxscan2]  Problemas por cancelación de polos lentos/poco amortiguados: solución incorporando perturbación a la entrada en planta generalizada ***  08:18

[804: ncfescm]  Efecto del escalado en el margen ante incertidumbre coprima normalizada: ejemplo Matlab ***  11:29

27.2 Control óptimo ante incertidumbre coprima normalizada, metodología Glover-McFarlane

[805: ncfsyn]  Control ante incertidumbre en representación coprima normalizada: maximización del margen de robustez ****  18:34

[806: gmcf1]  Metodología Glover-McFarlane de conformado de bucles (loop shaping) para control robusto *****  17:43

27.2.1 Ejemplos de código

Ejemplos monovariables

[807: gmfml]  Control robusto Glover-McFarlane conformado de bucle: ejemplo Matlab ****/ *****  20:07

[808: c3pidncf]  Caso de estudio: comparativa ncfsyn con mixsyn y PIDs manuales para masa-muelle-amortiguador (Matlab) ****  10:54

Ejemplo multivariable 2x2

[809: gmf2nw]  Diseño Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): pesos unidad ****  07:59

[810: gmf2w2]  Diseño Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): influencia de los pesos ****  10:52

[811: gmf2vsmx]  Diseño Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): interpretación loop-shaping y comparación con mixsyn ****  11:00

27.3 Caso de estudio: doble integrador

[812: dinthi1]  Control H-infinito de un doble integrador: planteamiento, planta generalizada, pesos. ***  19:51

[813: dinthi2]  Control H-infinito de un doble integrador: análisis de prestaciones/robustez de regulador resultante ****  20:30

[814: dinthi3]  Control H-infinito de un doble integrador: análisis comparativo de cuatro opciones de diseño ****  17:45

[815: dinthi4]  Control PID de un doble integrador diseñado mediante H-infinito, ejemplo Matlab: freqsep, hinfstruct ****  14:51