Capítulo 27
Disen~o de controladores robustos ante incertidumbre no estructurada

Una vez visto en el capítulo 26 cómo analizar si un controlador preexistente, disen~ado por cualquier metodología, puede tolerar unos ciertos errores de modelado sin hacerse inestable, este capítulo aborda el cómo utilizar las técnicas $H_{\infty }$ para disen~ar controladores robustos (intentando, claro, mantener unas ciertas prestaciones), aprovechando los conceptos de planta generalizada y control óptimos vistos en el capítulo 19. La metodología $H_{\infty }$ es razonablemente fiable desde el punto de vista numérico y genera rápidamente controladores multivariables que solucionan este tipo de problemas. En el capítulo 28 se planteará un tipo de incertidumbre más general (estructurada, varias fuentes de incertidumbre $\mathrm{\Delta }$) y técnicas iterativas para solucionarlo; no obstante, esas nuevas técnicas son computacionalmente mucho más costosas que las que aquí se proponen y, en bastantes ocasiones, pueden fallar. También pueden minimizarse índices de costes temporales sujetos a restricciones de picos de respuesta en frecuencia con las herramientas de Simulink Response Optimization (vídeo [ sdofreq(09:26)]).

27.1 Sensibilidad mixta

La metodología de “sensibilidad mixta” (mixed sensitivity) es una metodología de disen~o de reguladores para dar una forma adecuada a las funciones de transferencia (o matrices, en el caso multivariable) de bucle cerrado discutidas en el vídeo [ rfbc(16:46)], así como en el caso de estudio Matlab [ rfbcml(14:22)], cuyos contenidos se recomienda revisar para una mejor comprensión de los conceptos de esta sección.

De hecho, ya desde el punto de vista de control óptimo $H_2$ o $H_{\infty }$, sin tener consideraciones de robustez, como se van a incluir aquí, el problema de sensibilidad mixta tenía una interpretación bastante clara e interesante, como se discutió en el vídeo [ ef1(16:26)]. Lo que se hará en esta sección es comprobar que esas ideas tienen también una interpretación (dada por el teorema de pequen~a ganancia) interesante en control robusto (tolerancia a errores de modelado).

[810: mxs1]  Sensibilidad mixta / mixed sensitivity (1): motivación e ideas preliminares ***  10:58

[811: mxs2]  Sensibilidad mixta / mixed sensitivity (2): planta generalizada y problema H-infinito asociado ****  10:58

[812: mxsd1]  Sensibilida mixta (discusión): relación tiempo/frecuencia, direccionalidad MIMO ***  07:22

[813: mxsd2]  Sensibilidad mixta (discusión): formas de establecer cotas de error W2, W3 ****  08:17

[814: mxsd3]  Sensibilidad mixta (discusión): problemas por cancelación y ausencia de prestaciones robustas *****  14:24

27.1.1 Ejemplos de código

[815: mxsml]  Sensibilidad Mixta (ejemplo Matlab 2o orden) ***/ ****  10:17

[816: c3pidmx]  Caso de estudio: comparativa mixedsensitivity con PIDs manuales para masa-muelle-amortiguador (Matlab) ****  13:01

Caso de estudio 2x2

[817: mxsmv]  Disen~o mixed sensitivity (+ucover) en un proceso 2x2: ejemplo Matlab ****  10:57

[818: ucoversvd]  Ucover: ejemplo cobertura escalar/diagonal/SVD 2x2 ****  11:17

[819: mxsmsvd]  Mixed sensitivity+ucover (2x2): desacoplamiento SVD en prestaciones *****  10:58

27.1.2 Problemas debido a cancelaciones polo/cero y escalado

La no consideración en la planta generalizada “mixed sensitivity” de perturbaciones en la entrada $y=G(u+{\delta }_u)+{\delta }_y$ origina algunos problemas en la respuesta en bucle cerrado ante ${\delta }_u$, que afectan tanto a las “prestaciones” (cuando $G$ tiene polos lentos o poco amortiguados) como al margen de robustez ante incertidumbre coprima normalizada. Esta subsección discute dichos problemas.

[820: mxscan]  Control óptimo (sensibilidad mixta): problemas debido a cancelación de polos lentos/poco amortiguados (Matlab) ****  11:34

[821: mxscan2]  Problemas por cancelación de polos lentos/poco amortiguados: solución incorporando perturbación a la entrada en planta generalizada ***  08:18

[822: ncfescm]  Efecto del escalado en el margen ante incertidumbre coprima normalizada: ejemplo Matlab ***  11:29

27.2 Control óptimo ante incertidumbre coprima normalizada, metodología Glover-McFarlane

[823: ncfsyn]  Control ante incertidumbre en representación coprima normalizada: maximización del margen de robustez ****  18:34

[824: gmcf1]  Metodología Glover-McFarlane de conformado de bucles (loop shaping) para control robusto *****  17:43

27.2.1 Ejemplos de código

Ejemplos monovariables

[825: gmfml]  Control robusto Glover-McFarlane conformado de bucle: ejemplo Matlab ****/ *****  20:07

[826: c3pidncf]  Caso de estudio: comparativa ncfsyn con mixsyn y PIDs manuales para masa-muelle-amortiguador (Matlab) ****  10:54

Ejemplo multivariable 2x2

[827: gmf2nw]  Disen~o Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): pesos unidad ****  07:59

[828: gmf2w2]  Disen~o Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): influencia de los pesos ****  10:52

[829: gmf2vsmx]  Disen~o Glover-McFarlane (ncfsyn) en planta 2x2 (Matlab): interpretación loop-shaping y comparación con mixsyn ****  11:00

27.3 Caso de estudio: doble integrador

[830: dinthi1]  Control H-infinito de un doble integrador: planteamiento, planta generalizada, pesos. ***  19:51

[831: dinthi2]  Control H-infinito de un doble integrador: análisis de prestaciones/robustez de regulador resultante ****  20:30

[832: dinthi3]  Control H-infinito de un doble integrador: análisis comparativo de cuatro opciones de disen~o ****  17:45

[833: dinthi4]  Control PID de un doble integrador disen~ado mediante H-infinito, ejemplo Matlab: freqsep, hinfstruct ****  14:51