Transformación de ecuaciones algebraico-diferenciales a ecuación diferencial normalizada (repr. interna): caso índice superior

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 11:13

Resumen:

Este material plantea el problema de transformar un modelo escrito en forma de ecuaciones algebraico-diferenciales $F(\frac{dx}{dt},x,y,t)=0$ a ecuación diferencial ordinaria $\frac{dx}{dt}=f(x,t)$, $y=g(x,t)$.

En concreto, se estudian los sistemas de índice superior. Si tenemos un modelo lineal genérico donde

El sistema es de índice superior si $[Md{M}_y]$ tiene un rango inferior al número de ecuaciones. Ello requiere an~adir ”derivadas de ecuaciones” para poder despejar.

Como ejemplo, se aplica la idea a un modelo de dos masas unidas por un amortiguador ${\dot{v}}_1=f_{12}+F$, ${\dot{v}}_2=-f_{12}$, $v_1=v_2$, esto es donde $f_{12}$ sea la que haga falta para que se respete la ligadura mecánica que iguala las velocidades. El sistema es de índice superior, pero an~adiendo ${\dot{v}}_1={\dot{v}}_2$ ya se puede obtener una representación interna.

Como ejemplo adicional, el sistema de engranajes y poleas modelado en el vídeo [ep2] es también, en la forma (arbitraria) en la que inicialmente se han escrito las ecuaciones, de índice superior, por lo que es necesario derivar alguna de ellas para obtener la representación interna. Se recomienda al lector el visionado del referido vídeo.

A partir del minuto [05:40] se analiza que las dos masas ligadas mecánicamente se comportan como una única masa, con lo que la complejidad del sistema (orden) podría reducirse. Se comprueba que $\xi =v_1-v_2$ se mantiene constante; esta combinación lineal de los estados que no cambia valga lo que valga la fuerza de entrada $F$ se denomina estado no controlable.

En este vídeo se elimina el estado no controlable por “sentido común”, para obtener lo que en teoría de sistemas se denomina “realización mínima”. El análisis detallado de los conceptos de controlabilidad y realización mínima se aborda en los vídeos [ctrb], [canf].

En la parte final, se propone al lector un ejercicio de modelado de un sistema eléctrico, con dos condensadores en paralelo, para afianzar los conceptos discutidos en este vídeo.

Colección completa [VER]:

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