Ecuaciones algebraico-diferenciales: consideraciones adicionales y conclusiones

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 07:40

Resumen:

En este vídeo se presenta la representación normalizada de sistemas de ecuaciones algebraico-diferenciales lineales

Si $E=I$, la representación interna es un caso particular, si $E$ es invertible, entonces se puede transformar a la representación interna $ẋ=(E^{-1}A)x+(E^{-1}B)u$ –vídeo [mod3t2]–, y si $E$ no es invertible, entonces ya se trata propiamente dicho de un sistema algebraico-diferencial de índice uno o superior.

A continuación, se analiza la transformada de Laplace de estas ecuaciones... dado que todo es ”algebraico”, una vez transformado, entonces si un modelo está bien planteado, se ”despeja” lo que se desee simular y ya está, $y(s)=(C{(sE-A)}^{-1}B+D)\cdot u(s)$.

Los sistemas mecánicos con ligaduras (que igualan posiciones), suelen ser modelados como ecuaciones algebraico-diferenciales de orden superior, que requieren an~adir la igualdad de velocidades y aceleraciones para poder obtener una representación en variables de estado. Ese es el caso, por ejemplo, del sistema de engranajes del vídeo [ep2].

Por último, existe una metodología de modelado (ecuaciones de Euler-Lagrange) que evita variables intermedias (fuerzas de reacción, por ejemplo) en bastantes casos y que permite obtener también representaciones en forma de ecuaciones diferenciales ordinarias (no algebraicas) de una forma más directa. Esto está fuera de los objetivos de este vídeo.

La symbolic toolbox de Matlab tiene herramientas de manejo de ecuaciones algebraico-diferenciales no lineales, también fuera de los objetivos a este nivel. Existe software de modelado (Simscape, Modelica, …) que también facilita el modelado y la simulación de sistemas complejos sin necesidad de conocer los detalles de las ecuaciones algebraico-diferenciales únicamente esbozados en estos materiales.

Colección completa [VER]:

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