Identiﬁcacin subespacio n4sid: algoritmo (proyeccin, mnimos cuadrados parciales)

Identiﬁcación subespacio n4sid: algoritmo (proyección, mínimos cuadrados parciales)

Antonio Sala, UPV

Diﬁcultad: ***** , Relevancia:

, Duración: 23:40

Resumen:

Este vídeo detalla un algoritmo de identiﬁcación subespacio basado en obtener, mediante regresión, las matrices $M_{1}$ y $M_{2}$ de un modelo de predicción $Y_{f u t} = M_{1} W_{p a s t} + M_{2} U_{f u t}$ , siendo $Y_{f u t}$ un vector de salidas futuras, $U_{f u t}$ un vector de entradas futuras, e $Y_{p a s t}$ un vector de salidas y entradas pasadas (hasta unos horizontes futuro y pasado, $h_{f}$ , $h_{p}$ suﬁcientemente largos, según lo ya discutido en vídeos [idmpc2] y [subsp1]). La formación de las matrices necesarias para este primer paso se codiﬁca en Matlab en el vídeo [sbml1].

El SVD de $F = M_{1} W_{p a s t}$ permite generar una secuencia de estados no correlados entre sí que podrían explicar las salidas observadas; alternativamente, blanqueando $W_{p a s t}$ antes de la regresión, el SVD de $M_{1}$ puede ser entendido como la solución de un problema de mínimos cuadrados parciales ortonormalizados (vídeo [plso]). Si el orden del sistema es $n$ , sólo $n$ valores singulares de $F$ o $M_{1}$ deberían ser distintos de cero; en situaciones prácticas, se genera la secuencia de estados haciendo cero aquéllos valores singulares muy pequen~os. El código Matlab de esta etapa del algortimo se discute en el vídeo [sbml2].

Una vez se tiene la secuencia de estados estimados, una regresión con mínimos cuadrados matriciales, cuyo resultado utiliza una matriz pseudoinversa, como es usual, permite obtener las matrices ( $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ) de la representación interna buscada, ajustando un modelo de regresión lineal:

(\begin{matrix} x_{k + 1} \\ y_{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{k} \\ u_{k} \end{matrix})

sustituyendo en $x_{k + 1}$ y $x_{k}$ los elementos correspondientes de la secuencia de estados estimados mediante la descomposición SVD anterior. El vídeo [sbml3] ilustra cómo ejecutar con Matlab este último paso del algoritmo de identiﬁcación subespacio.

Nota: existen bastantes variaciones del algoritmo subespacio en literatura. Por brevedad, y también porque no soy yo muy experto en ellas, no son discutidas en el vídeo aquí presentado.

Colección completa [VER]:

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