Capítulo 19
Control óptimo $H_2$ y $H_{\infty }$

19.1 Preliminares: normas de sistemas

[614: norms]  Normas de señales y sistemas ****  14:58

19.1.1 Interpretación de normas $H_2$ y $H_{\infty }$: ejemplos Matlab

[615: norm2ml]  Significado de la norma 2 de un sistema LTI: ejemplos Matlab ***  08:54

[616: ninfml]  Respuesta en frecuencia multivariable y significado de la norma infinito de un sistema LTI: ejemplo Matlab ***  07:08

19.1.2 Cálculo de la norma $H_2$ de sistemas lineales

[617: norm2]  Cálculo de la norma 2 de un sistema lineal *****  10:57

19.1.3 Cálculo de la norma $H_{\infty }$ de sistemas lineales

[618: ninfa]  Cálculo de la norma infinito de sistemas lineales (I): Preliminares ****  10:37

[619: ninfb]  Cálculo norma infinito de sistemas lineales (II): Método matriz hamiltoniana *****  16:26

19.2 Planta generalizada

[620: genpl1]  Expresión de problemas de control en forma de planta generalizada ***  10:08

Nota: Las interconexiones que aparecen en la planta generalizada pueden ser obtenidas/simplificadas a partir de las fórmulas de representación interna de cada uno de sus componentes, como se discute en el vídeo [ starp(18:21)]. De todos modos, Matlab lo realiza de forma transparente en sus comandos de interconexión de la control systems toolbox (por ejemplo, lft), y los detalles de dichas fórmulas no son necesarios en este momento para la comprensión de los vídeos introductorios de esta sección.

[621: genpl2]  Planta generalizada: caso general multivariable ****  13:35

Las plantas generalizadas deben ser “ponderadas” para combinar diferentes unidades o prestaciones requeridas en distintas variables, generalizando el concepto de planta “escalada” a $\pm 1$ abordado en la Sección 13.2.

La planta generalizada “ponderada” requerirá, en muchas aplicaciones, la incorporación de filtros paso alto/bajo/banda al modelo físico, por lo que se recomienda revisar el Capítulo 5, y en especial los filtros elementales descritos en el vídeo [ filt(09:29)].

También es conveniente, en este momento, tener claro el concepto del análisis en frecuencia de bucles cerrados de control y lo que significan los diagramas de Bode de las distintas funciones de transferencia entre referencias/perturbaciones y acción de control o salidas. Se recomienda, pues, la revisión del vídeo [ rfbc(16:46)] o materiales asociados para comprender mejor la generalización de esas ideas que se discute a continuación.

Ejemplo construcción de planta generalizada en Matlab

[622: pgdydu1]  Planta generalizada: ejemplo Matlab rechazo perturbaciones entrada y salida (Symbolic Toolbox) ***  12:48

[623: pgdydu2]  Planta generalizada: ejemplo Matlab rechazo perturbaciones entrada y salida (Control Toolbox) ****  18:37

[624: pgdydu3]  Planta generalizada: análisis rechazo perturbaciones entrada y salida usando reguladores PID ***  14:31

19.2.1 Planta generalizada ponderada para control óptimo

[625: pgpo]  Planta Generalizada Ponderada ****  19:09

[626: pgposs]  Planta generalizada: operaciones en representación interna ***  09:31

[627: h2hinfb]  Control H2/Hinfinito, condiciones para problema bien planteado ****  10:01

[628: h2lqrml]  Equivalencia h2syn con (dlqr+dlqe): ejemplo Matlab *****  27:21

19.3 Ejemplos de código

[629: gpex1]  Control planta generalizada H2/Hinfinito (I): ejemplo Matlab/Octave 1 grado libertad ****  14:55

[630: ef1]  Control planta generalizada H2/Hinfinito (II): codificación Mixed Sensitivity (Planteamiento) ****  16:26

[631: ef2]  Control planta generalizada H2/Hinfinito (III): Mixed Sensitivity (Efecto de filtros) ****  20:58

19.3.1 Caso de estudio: compensación perturbaciones entrada

[632: hiid]  Control H-infinito para rechazo de perturbaciones a la entrada: ejemplo Matlab (pesos constantes) ****  12:52

[633: h2id]  Control óptimo H2 rechazo perturbación a la entrada: diseño y simulación ante ruido ****  12:12

[634: hiid2]  Control H-infinito para rechazo de perturbaciones a la entrada: pesos en frecuencia y simulación ante ruido *****  15:13

19.3.2 Selección de pesos con plantas previamente escaladas

Nota: Los vídeos de esta sección requieren la comprensión previa, entre otros, de los conceptos discutidos en los materiales de los vídeos [ sa3ref(10:26)], [ dsvd1(12:18)] y [ dsvdml(15:45)].

[635: hinfeml]  Selección de pesos para control H-infinito: ejemplo plantas escaladas a +1/-1 (SISO) ****  19:52

[636: hinf2ml]  Selección de pesos en control H-infinito: plantas escaladas multivariables, enfoque SVD desacoplado *****  17:58

19.3.3 Ejemplo de aplicación: control en cascada (sensor extra)

En esta subsección, se discute la comparación de dos estructuras de control en una planta $y=G_2{y}_1+p$, $y_1=G_{1}u+\delta$:

• Control con sólamente un sensor de $y$

• Control con sensores tanto de $y$ como de $y_1$.

La segunda de las opciones, si $G_1$ tuviera una dinámica más rápida que $G_2$ correspondería al caso típico de control en cascada con sensor extra. Con separación de escalas de tiempo, podrían sintonizarse bucles “maestro” y “esclavo” de forma independiente. Esta estrategia de control en cascada es muy común en la práctica, discutida en el vídeo [ ectcas(19:03)], incluso en entornos sin modelos, con sintonía “manual” de PIDs.

El objetivo de los dos vídeos de esta sección es ilustrar que, con las suposiciones adecuadas, la ganancia de prestaciones obtenida al incorporar ese sensor extra puede ser justificada en el marco del control $H_2$ y $H_{\infty }$ sobre plantas generalizadas. Obviamente, los contenidos de los vídeos [ cash2(11:29)] y [ cashi(10:59)] no pretenden justificar que esta sea la opción más recomendable en la práctica en un caso general: con toda probabilidad, sería el sintonizar 2 PID’s manualmente, pero en casos de sistemas complejos/multivariables o sin una separación clara de escalas de tiempo, la opción de control óptimo en esta sección podría ser considerada.

[637: cash2]  Control en cascada (planta gen): ejemplo Matlab, diseño $H_2$ ****  11:29

[638: cashi]  Control en cascada (planta gen): ejemplo H-infinito Matlab ****  10:59

19.3.4 Ejemplo de aplicación: control en cascada con actuador extra

[639: dacthinf1]  Control H-infinito con 2 actuadores de diferente ancho de banda (ejemplo Matlab): planteamiento del problema [1] ****  08:36

[640: dacthinf2]  Control H-infinito con 2 actuadores de diferente ancho de banda (ejemplo Matlab): simulación de resultados [2] ****  11:19

Como conclusión de los ejemplos de estas secciones 19.3.3 y 19.3.4, una selección adecuada de los pesos permite replicar las ventajas de sensores y actuadores extra en estructuras de control multivariable replanteando el problema como un control óptimo en planta generalizada.

19.3.5 Prealimentación (feedforward)

[641: ffhinf]  Prealimentación (feedforward) usando optimización H-infinito ****  13:51

[642: ffhinfd]  Prealimentación (feedforward) usando H-infinito (caso con retardo) *****  10:59

19.3.6 Ejemplo de aplicación: control con 2 grados de libertad

[643: hi2gls]  Control con 2 grados de libertad (H-infinito) para seguimiento de referencias: ejemplo Matlab ****  11:59

[644: c2glhim]  Control con 2 grados de libertad (H-infinito) con referencias y perturbaciones: ejemplo Matlab ****  14:32

Nota: El control con 2 grados de libertad es una estrategia que tiene interés práctico incluso en estructuras de control tipo PID, ver Sección 14.7. ***

Importante: El control óptimo optimiza la respuesta de las salidas controladas (y acción de control) ante las perturbaciones que se han considerado en las entradas de la planta generalizada. No obstante, la respuesta óptima conseguida ante dichas entradas puede resultar en respuestas malas ante otras no consideradas, por lo que se requiere un cierto cuidado en el planteamiento de los problemas de control. En concreto, dependiendo del proceso, los controladores diseñados en los ejercicios anteriores podrían no funcionar: es necesario comprobar sensibilidad a errores de modelado –control robusto, Parte V – y comprobar si el optimizador ha cancelado dinámicas lentas que sean excitadas por perturbaciones no tenidas en cuenta en la minimización de la norma (ver vídeo [ mxscan(11:34)]), con lo que podría ser aconsejable replantear el diseño considerándolas (vídeo [ mxscan2(08:18)]). ****

19.3.7 Ejemplos: control de sistemas térmicos

[645: termgp]  Construcción de planta generalizada para control multivariable de un sistema térmico de orden 4 (Matlab) ****  12:54

[646: forn6pg]  Caso de estudio horno lineal orden 11: control centralizado, planta generalizada seg. referencias ****  07:04

[647: forn7h2]  Caso de estudio horno lineal orden 11: control óptimo H2 *****  13:59

[648: forn8hi]  Caso de estudio horno lineal orden 11: control óptimo H-infinito, comparación de prestaciones con H2 y PIDs *****  14:51

19.3.8 Observadores estacionarios $H_2$ y $H_{\infty }$

[649: h2obsml]  Observador óptimo $H_2$, equivalencia con Kalman: ejemplo Matlab estimación fuerza sistema mecánico ****  11:31

[650: hinfobs1]  Observador $H_{\infty }$, ejemplo Matlab estimación fuerza (I): pesos constantes ****  09:41

[651: hinfobs2]  Observador $H_{\infty }$, ejemplo Matlab estimación fuerza (II): pesos dependientes de la frecuencia ****  10:54

19.4 Limitaciones de prestaciones en procesos inestables o de fase no mínima

Esta sección presenta ejemplos de cómo los estimados de anchos de banda y prestaciones alcanzables discutidos de forma preliminar en la Sección 13.2 deben ser revisados cuando existen polos inestables (la inestabilidad requiere una ganancia “mínima” del control para estabilizar y ser especialmente cauto en evitar saturación), y cuando existen ceros en el semiplano derecho (procesos de fase no mínima).

[652: minust]  Acción de control mínima para estabilizar: enfoque H-infinito (ejemplo Matlab) ***  10:54

[653: limprhpm]  Limitaciones de prestaciones por polos y ceros en semiplano derecho: ejemplo Matlab ****  12:39

19.5 Antiwindup en controladores en representación interna

[654: awsste]  Anti-windup en reguladores genéricos lineales en representación interna ***  12:54

[655: awsscp]  Anti-windup en reguladores genéricos lineales en representación interna (2): casos particulares PID y observador ****  11:22

19.5.1 Caso de estudio: implementación en un regulador $H_{\infty }$ dicreto

[656: hiimpl1]  Control H-infinito de proceso discreto 2o orden (seguimiento referencias + rechazo perturbación a la entrada) ****  08:47

[657: hiimpl2]  Control H-infinito de proceso discreto 2o orden (seguimiento referencias + rechazo perturbación a la entrada): implementación y antiwindup ***  14:49

19.6 Conclusiones

[658: icscp1c]  Conclusiones/resumen control sistemas complejos (dimensionamiento, estructuras PID, control generalizado) ****  17:57