Capítulo 17
Predicción óptima en procesos con perturbaciones aleatorias (filtro de Kalman)

17.1 Preliminares

El concepto de “observador”, introducido en el vídeo [ obs(13:55)], cuando las entradas son ruido blanco dio lugar a lo que se denomina Filtro de Kalman, abordado en esta sección¹ . Si el concepto de observador del estado no le es familiar al lector, se recomienda visionar el vídeo [ obs(13:55)] que motiva el problema que se resuelve a continuación.

[580: obsruido]  Observadores del estado: análisis de efecto de ruidos de proceso y medida ***  08:57

17.2 El filtro de Bayes recursivo (motivación y ejemplo ‘tigre oculto’)

Como ejemplo motivador de la idea sobre un problema elemental, en esta sección se llegará a la fórmula más sencilla de filtro recursivo bayesiano recursivo a partir del caso de un ‘tigre oculto’ que ya sirvió para motivar cuestiones relacionadas con probabilidad conjunta, condicional, marginal, etc. en la revisión de conceptos básicos de estadística, ver vídeos [ tiger1(20:57)], [ tiger2(15:52)] y [ tiger3(21:57)].

[581: tiger4]  Tigre oculto (4): Probabilidad condicional y fórmula de Bayes DOS rugidos **  14:19 *Link to English version

[582: tiger5]  Tigre oculto (5): fórmula Bayes N rugidos (N arbitrario) NO recursiva ***  17:46 *Link to English version

[583: tiger6br]  Tigre oculto (6): fórmula Bayes Recursiva (demostración) ****  17:31 *Link to English version

[584: tiger7rbs]  Tigre oculto (7): fórmula Bayes Recursiva (simulación Matlab) ***  17:44 *Link to English version

17.3 Predicción óptima en procesos gaussianos en tiempo discreto

Nota (prerrequisitos): Para comprender en su totalidad los desarrollos teóricos del filtro de Kalman a continuación, es muy recomendable el revisar los conceptos básicos sobre procesos estocásticos lineales discretos (Sección 7.2) y sobre predicción estadística, discutidos en la Sección B.5.

[585: kalteo]  Predicción óptima en sistemas dinámicos lineales: Filtro de Kalman tiempo discreto (demostración) ****  15:46

Nota: El filtro de Kalman puede ser usado para estimar la media de una variable. Por ejemplo, planteando el modelo $m_{k+1}=m_k$ (ec. de estado), $y_k=m_k+v_k$ (ec. de salida) se está diciendo que la media de $y$ es $m_k$ y se mantiene constante, y a partir de un estimado inicial a priori puede refinarse con futuras observaciones. Este enfoque, en el contexto de “test estadístico de media” en detección de fallos, se desarrolla en el vídeo [ thmdkal(15:25)], cuya visualización, si se dispone de tiempo, se aconseja en este momento.

A continuación se presentan unos primeros ejemplos Matlab de uso del filtro de Kalman; la Sección 17.4 presenta ejemplos adicionales.

[586: tubokal]  Filtro de Kalman estacionario: ejemplo estimación temperatura de gas en tubería (Matlab) ****  12:43

[587: kalml]  Filtro de Kalman: ejemplo Matlab (filtro no estacionario) ****  33:33

Nota 1: El filtro de Kalman está muy relacionado con los mínimos cuadrados recursivos en identificación de $𝜃$ dado un modelo $y=x^T𝜃$, a partir de series de datos $(y_1,y_2,\dots )$, $(x_1,x_2,\dots )$. En efecto, el filtro de Kalman es el estimador óptimo del proceso lineal ${𝜃}_{k+1}={𝜃}_k$ (suponer parámetros constantes, esta vez entendido como una ecuación de estado), $y=x^T𝜃$ (entendido como una ecuación de salida donde el “estado” es $𝜃$). Los vídeos [ mcr1(11:18)] y [ mcr2(10:51)] discuten dicha relación en detalle. Suponiendo un hipotético ruido de proceso ${𝜃}_{k+1}={𝜃}_k+w_k$ ello permite incorporar un “olvido” de la información pasada (discutido en el vídeo [ mcr2(10:51)]).

Nota 2: El observador óptimo estacionario (filtro de Kalman dlqe) y el controlador óptimo de horizonte infinito dlqr están muy relacionados con lo que se conoce en la literatura como control óptimo $H_2$. Específicamente sobre la parte de observación (observador $H_2$), el vídeo [ h2obsml(11:31)] discute (con un ejemplo de código) la equivalencia entre cierto problema de optimización $H_2$ y el filtro de Kalman estacionario. Si cerramos el bucle (principio de separación), La equivalencia entre “Kalman+lqr” (estacionario) y control $H_2$ se ilustra también mediante un breve ejemplo Matlab en el vídeo [ h2lqrml(27:21)]. *****

17.3.1 Predicción óptima no causal: suavizado RTS

[588: rtsm]  Suavizado no causal en representación interna (RTS smoother) ****  14:05

17.4 Casos de estudio Kalman/RTS

17.4.1 Caso 1: estimación de fuerza aplicada sobre un sistema masa-muelle

[589: estfml1]  Estimación de fuerza de entrada a un sistema mecánico (1): planteamiento del problema y filtro de Kalman estacionario ***  10:32

[590: estfml2]  Estimación de fuerza de entrada a sistema mecánico (2): Kalman no estacionario y suavizado RTS ****  11:00

17.4.2 Caso 2: eliminación de tendencias (rampa)

Esta sección usa un modelo de generador de perturbaciones ([ ress(10:57)]) para eliminar una “tendencia” en forma de rampa de una señal, comparando diferentes enfoques. La comparación con la asignación de polos (vídeo [ drgenml(14:08)]) se deja al lector como ejercicio propuesto.

[591: rampdetr]  Eliminación de derivas y rampas (1): detrend ***  07:57

[592: rampkales]  Eliminación de derivas y rampas (2): filtro de Kalman estacionario ****  12:38

[593: rampkalne]  Eliminación de derivas y rampas (3): filtro de Kalman no estacionario ****  06:49

[594: ramprts]  Eliminación de derivas y rampas (4): suavizado Rauch-Tung-Striebel no causal ****  06:00

17.4.3 Caso 3: ejemplo donde NO funciona bien

[595: kalmal]  Comparación observador óptimo (Kalman) versus derivación numérica en sistema de 2o orden: resultados inesperados ****  14:57

17.5 Estimación aproximada en procesos no lineales

[596: normnl]  Deformación de distribuciones de probabilidad en sistemas no-lineales: ejemplo Matlab (estático) ***  10:45

17.5.1 Filtro de Kalman extendido

[597: ekfteo]  Filtro de Kalman extendido para sistemas no lineales: teoría ****  10:02 *Link to English version

[598: ekfml1]  Ejemplo filtro Kalman extendido (péndulo, I): modelado y linealización Matlab **  07:23

[599: ekfml2]  Ejemplo Filtro Kalman Extendido (II): simulación Matlab y comparación de opciones ****  10:52

17.5.2 Filtro de Kalman-Uhlmann “unscented”

[600: errekf]  Análisis de error del filtro de Kalman extendido (serie de Taylor) ****  09:50

[601: ukft1]  Transformación unscented (Uhlmann-Julier): idea básica ***  13:05

[602: sigptml]  Transformación unscented (generación de sigma-points): ejemplo Matlab ***  08:23

[603: ukft2]  Filtro Unscented para sistemas dinámicos no-lineales ****  11:49

[604: ukf1ml]  Propagación de media y varianza en no-linealidades: ejemplo Matlab 1D ***  07:49

[605: ukf2ml]  Propagación de media y varianza en no-linealidades: Unscented Transform, ejemplo Matlab 2D ***  05:35

Transformación unscented escalada

[606: ukfesc]  Transformación unscented escalada ****  10:43

[607: ukfesc2]  Transformación unscented escalada: reescritura de pesos y eliminación función auxiliar *****  16:16

Ejemplo

[608: ekfukfml]  Comparación Kalman Extendido/Unscented: ejemplo péndulo no lineal Matlab ***  04:07

17.5.3 Filtro de Partículas

No dispongo de material teórico sobre “particle filter” (simulación Monte-Carlo), que también es muy utilizado en este tipo de problemas cuando las no-linealidades son abruptas o/y las distribuciones de probabilidad usadas son no gaussianas. Se remite al lector a la amplia bibliografía sobre estos temas disponible en otras fuentes.

Una introducción “básica” (en inglés) muy fácil de entender, sin prácticamente fórmulas, aparece en https://www.youtube.com/watch?v=aUkBa1zMKv4

[609: pfml]  Filtro partículas (control syst. toolbox matlab): ejemplo péndulo no lineal ***  09:55

El filtro es muy usado en robótica (localización con sensores imperfectos):

https://www.youtube.com/watch?v=mBlsqSI7c1g

https://idecona.ai2.upv.es/content/localizaci\%C3\%B3n-robots-monte-carlo