Nota: Esta versión HTML podría tener fórmulas matemáticas con errores en formato en algunos símbolos.

Índice general

Presentación

Bienvenido a un nuevo curso de la asignatura de “Sistemas Automáticos” (SAU-GITI), de la soy profesor el curso 2024/25.

En http://personales.upv.es/asala/DocenciaOnline/Cursos/Apuntes.html tienes un catálogo completo de una serie de aproximadamente 960 videos (aprox. 207 horas) que abarcan (parcialmente) contenidos de esta asignatura (pero también muchísimo más material destinado a otras asignaturas o Doctorado).

Este documento presenta una selección y ordenación de los objetos de aprendizaje en función de su adecuación, en contenido y dificultad, a las competencias a adquirir en la asignatura de SAU. No obstante, muchos de los vídeos seleccionados no están “específicamente” preparados para alumnos de SAU, y pueden desarrollar los temas con mayor o menor profundidad que la concebida para el programa de SAU. Ante la duda, consultad a vuestro profesor de teoría.

*quizás hay “exceso” de vídeos/material: si lo comprendes TODO al 100$$% vas a sacar un “15 sobre 10” en la asignatura, je!

Uso de los enlaces a vídeos en este documento

Al hacer click en el acrónimo, por ejemplo [3: mod1ssa], se abrirá un enlace a una página web donde podrás acceder a:

• Resumen explicativo y conclusiones acerca de los contenidos (léelo “por encima” antes de visionarlo, y “en profundidad” después),

• Enlace que reproduce el vídeo,

• Transparencias (.pdf) y ficheros Matlab (.m, .mlx, .slx) usados en el vídeo.

Vídeos privados: en algunos casos, existen vídeos no disponibles (”privados”). Están pendientes de edición y verificación por mi parte, o bien están en cola para su próxima publicación (publico un vídeo por semana). Intenta más tarde o, mejor, suscríbete para ser notificado de la publicación.

Velocidad de reproducción: bastantes de los vídeos van “al grano” rápidamente, con pocas pausas para que reflexionéis e interiorizéis las ideas. Depende de la dificultad y familiaridad vuestra con el contenido, quizás sería recomendable:

• Si no has asistido a la clase o no entendiste demasiado, visualiza con velocidad reducida 0.8x, y haz pausas cada par de minutos para reflexionar/interiorizar ideas.

• Si lo entendiste todo en clase, y estás ‘repasando ideas principales’, acelera a 1.2x.

Software para prácticas y estudio personal: MATLAB

Las prácticas de laboratorio de SAU (20$$% nota) se realizan generando código Matlab. Es, por tanto, MUY recomendable que adquiráis familiaridad con Matlab, si no la tenéis de asignaturas previas, con antelación a la primera sesión de prácticas de laboratorio.

Instalación de MATLAB

LA UPV tiene licencia de campus que permite la instalación en vuestro equipo privado (PC sobremesa o portátil), si os registrais en Mathworks con un correo de la UPV. De modo que os aconsejo que la utilicéis para instalar la última versión (en este momento R2024a)... bueno, a fecha de hoy, los laboratorios DISA tienen R2023b pero los cambios son menores y, usualmente, a mejor si gastáis la última.

Matlab no es un único programa, sino que tiene distintos módulos (toolboxes) opcionales. Recomiendo instalar para SAU, como mínimo:

• MATLAB

• SIMULINK

• Control Systems Toolbox

• Optimization Toolbox

• Global Optimization Toolbox

• Symbolic Math Toolbox

*Nota para las PL: existen ciertos cambios sintácticos entre versiones. Por ejemplo, versiones 2020b y anteriores en vez de plot(x,y,LineWidth=2) debe ser plot(x,y,’LineWidth’,2). Considerad eso a la hora de interpretar las diferencias entre el código en los enunciados de prácticas (o el que desarrolléis en las sesiones de PL) o las transparencias de teoría y el código de los vídeos.

Vídeos/tutoriales sobre Matlab

$\bullet$ Si eres totalmente novato, el profesor Juan Manuel Herrero, colega del DISA, y que ha sido profesor de SAU, ha publicado unos breves vídeos de tutorial introductorio:

[1.-Interfaz básica],   [2.-Matrices],   [3.-Scripts y bucles],   [4.-Funciones],   [5.-Gráficos].

$\bullet$En https://controlautomaticoeducacion.com/matlab/ también puede revisarse un curso básico de Matlab.

$\bullet$ Mathworks tiene muchísima documentación y vídeos sobre Matlab, desde elemental a super-avanzado. Son sus desarrolladores.

Parte I
PRIMER PARCIAL

Parcial 1, UD0: Introducción a la Ingeniería de sistemas y control realimentado. Aplicaciones científicas y de ingeniería

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 1, 08/09]

Contenidos introductorios para motivar qué se va a estudiar en la asignatura y por qué.

[1: introAutI] Fundamentos de la Automatización Industrial Instrumentacionycontrol.net *  05:00

[2: automintro] Automática, el control de los procesos UNED et al. *  17:07

Conceptos básicos de teoría de sistemas

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 1, 08/09]

[3: mod1ssa] Sistemas y Señales: conceptos básicos *  14:41

[4: mod1ssb] Sistemas y Señales (clasificación) **  10:33

[5: tanksist] Señales, sistemas, dinámica: ejemplo cualitativo depósito de líquido *  11:30

[6: objISA] Ingeniería de Sistemas y Automática: objetivos *  23:54

Capítulo 1
Parcial 1, UD1: Modelado teórico de sistemas contínuos, representación interna

Palabras clave en guía docente:  Conceptos básicos, Modelos elementales de sistemas físicos sencillos, concepto de estado, representación interna

1.1. Teoría de sistemas, continuación

[7: sistB] Sistemas: definición, interconexión y propiedades. Pablo A. Bernabeu Soler (UPV) *  08:18

[8: sistMemB] La propiedad de memoria en sistemas Pablo A. Bernabeu Soler (UPV) *  06:16

1.1.1. Cuestionario/Resumen

1. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre estática y dinámica en el estudio de sistemas físicos?

2. Describa dos características por las cuales se pueden clasificar las señales según su naturaleza temporal o sus valores.

3. ¿Por qué se afirma que un modelo “perfecto” de un sistema físico real es generalmente inalcanzable?

4. ¿Qué es un modelo matemático y qué tipo de ecuaciones son comunes en el control?

5. ¿Cuál es la función principal de los modelos computacionales en el contexto de la ingeniería de sistemas?

6. Diferencie entre un sistema estático y un sistema dinámico, proporcionando un ejemplo de cada uno.

7. ¿Qué significa que un sistema dinámico sea “causal”?

8. Clasifique las señales de entrada de un sistema, explicando la distinción entre ellas.

9. ¿Cuál es el rol de las variables de estado en un sistema?

10. ¿Qué es la “salida” de un sistema dinámico?

Respuestas del Cuestionario

1. La estática se enfoca en las condiciones para que nada cambie en el tiempo, es decir, el equilibrio. La dinámica, en cambio, estudia el movimiento de la materia y sus causas, centrándose en los cambios de magnitudes físicas en el tiempo.

2. Las señales pueden clasificarse por su naturaleza temporal como de tiempo continuo o discreto. También pueden clasificarse por sus valores, que pueden ser continuos (reales) o binarios/lógicos ({0, 1}).

3. Un modelo perfecto es inalcanzable porque los procesos reales son inherentemente no-lineales, de orden infinito y sujetos a entradas impredecibles como el ruido. Esto hace imposible capturar todas las complejidades y variaciones de un sistema real.

4. Un modelo matemático es una aproximación de una entidad física expresada en lenguaje matemático. En el control, son comunes las ecuaciones algebraico-diferenciales (DAE) y las ecuaciones en diferencias.

5. Los modelos computacionales sirven para convertir un modelo matemático aproximado en un programa de computador. Esto permite la simulación del comportamiento del sistema, facilitando su estudio y análisis sin necesidad de interactuar con el sistema físico real.

6. Un sistema estático relaciona señales en el mismo instante de tiempo, como $v(t)=R\cdot i(t)$ en una resistencia. Un sistema dinámico, en cambio, relaciona señales en diferentes instantes de tiempo, donde el valor actual depende de valores pasados, como el nivel de un depósito que depende de caudales anteriores, $\frac{dVol}{dt}=Caudal$.

7. Que un sistema dinámico sea causal significa que el valor presente de una señal es función únicamente de valores presentes y pasados de ella misma u otras señales. En la física clásica, se asume que todos los sistemas físicos cumplen con esta propiedad, es decir, el futuro no afecta el presente.

8. Las señales de entrada se clasifican en entradas manipuladas y perturbaciones. Las entradas manipuladas son aquellas que un usuario puede controlar, como un interruptor, mientras que las perturbaciones son factores externos e incontrolables que afectan al sistema, como la temperatura ambiente.

9. Las variables de estado son un conjunto de variables no-entrada asociadas a fenómenos que almacenan la “energía” del sistema. Su rol es describir el estado interno del sistema en un momento dado y determinar su “movimiento” o evolución futura.

10. El subconjunto de señales del sistema que nos interesa calcular/simular/visualizar en nuestro problema tecnológico.

1.2. Modelos matemáticos de sistemas físicos: conceptos básicos

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 2, 12/09]

[9: modelsintro] Modelos matemáticos y computacionales (digital twin) de sistemas físicos: motivación, utilidad **  13:25 *Link to English version

[10: mod2sf] Modelos matemáticos de sistemas físicos: leyes dinámicas, estáticas y balances *  12:15

[11: mod2bp] Modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales: modelos bien planteados **  09:10

[12: mod3t1] Modelado: pasos para obtener un modelo de un sistema físico en forma de ecuaciones diferenciales **  08:55

1.2.1. Cuestionario/Resumen

1. ¿Cuál es la hipótesis fundamental de la causalidad en los sistemas dinámicos?

2. Explica la Hipótesis de Markov y su implicación principal para los sistemas físicos “realizables”.

3. Define formalmente el concepto de “variables de estado” en el contexto de sistemas dinámicos y menciona ejemplos en sistemas físicos.

4. ¿Cuál es la forma normalizada de un modelo dinámico en ecuaciones diferenciales?

5. Explica la importancia de las “condiciones iniciales” en la simulación de modelos matemáticos.

Respuestas del Cuestionario

• La causalidad establece que los eventos presentes no dependen de eventos futuros, sino únicamente del pasado y de eventos simultáneos. Esto implica que el tiempo se concibe como una línea ordenada de “antes” y “después” para el modelado de sistemas físicos (hasta que Einstein lo cambió todo).

• La Hipótesis de Markov postula que el pasado solo influye en el futuro a través del presente. Para sistemas físicos, esto significa que toda la historia pasada debe poder resumirse en magnitudes “presentes” que representen la energía o información almacenada en el instante actual.

• Las variables de estado son un conjunto de magnitudes ($x_1(t)$, …, $x_n(t)$) que describen toda la energía o información almacenada en un instante dado, como resultado de toda la historia pasada. Ejemplos incluyen la posición y velocidad de un objeto, o la carga en condensadores e intensidad en bobinas.

• Una ecuación de estado $dx∕dt=f(x,u)$ resoluble de forma independiente a partir de trayectorias de entradas $u$ y condiciones iniciales, y una ecuación de salida expresando ciertas variables de interés $y=g(x,u)$. Si el sistema es ‘variante con el tiempo’, añadiríamos el “reloj” como argumento $dx∕dt=f(x,u,t)$, $y=g(x,u,t)$.

• Las condiciones iniciales, denotadas como $x(0)$ para las variables bajo el signo de la derivada, son esenciales para simular un modelo. Permiten calcular la evolución futura del sistema a partir de un estado inicial conocido.El problema de calcular el futuro no está bien planteado si no se conoce el estado/energía al comenzar el experimento.

1.3. Concepto de estado. Representación interna

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 2, 12/09]

[13: estado1] Interpretación física del concepto de “estado” de un sistema dinámico **  10:48

1.4. Ejemplos de Modelado físico

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesiones 2, 3 (12/09, 15/09) semana problemas/casos estudio (sesiones finales) ]

[14: ssmmaB] Modelado en espacio de estados de sistema masa-muelle-amortiguador Aureliano Esquivel **  09:05

[15: sselB] Modelado en representación interna de circuito con 2 resistencias, bobina y condensador Academatica (YouTube) **  15:36

[16: pinionm] Modelo dinámico de sistema piñón-cremallera: ecuaciones de Newton, masa/momento inercia equivalente **  15:17 *Link to English version

[17: moll3mod] Modelado de un sistema mecánico de 4 muelles y 3 masas (representación interna, variables de estado) **  08:46 *Link to English version

[18: termet] Modelado de un sistema térmico lineal de orden 4 en representación interna **  10:59

Teoría opcional en [ mod3t2, (14:37, opcional)], posiblemente mejor entender bien los ejemplos concretos.

[19: cir1] Modelado de un circuito electrico con 2 fuentes de alim (variables de estado) **  12:54

[20: modmix] Modelado de un tanque de mezclado y obtención de representación interna (Matlab) **  10:11

[21: term1e] Modelado dinámico de un tanque de calentamiento de líquido como un sistema de primer orden (mezclado perfecto) ***  08:25 *Link to English version

[22: tiovintr] Modelado elemental de tiovivo/péndulo rotatorio: presentación del caso de estudios y la serie de vídeos *  04:12

[23: tiovs] Modelado dinámica lateral tiovivo/péndulo rotatorio (1): planteamiento y estática (Matlab) **  13:51

[24: tiovd] Modelado dinámica lateral tiovivo/péndulo rotatorio (2): ecuaciones; simulación ode45 ecuación de estado ***  17:58

[25: cpNewton] Ejemplo modelado de sistema carrito-bola (1): cinemática y balances de fuerzas ***  14:59

Caso de estudio Motor-Polea-Cuerda-Muelle-Masa Sistema electromecánico.

[26: mpmm1] Modelado motor-polea-muelle-masa (1): ecuaciones de la física (elementales+balances) **  29:59

[27: mpmm2] Modelado motor-polea-muelle-masa (2): forma normalizada, ecuaciones de estado y de salida **  12:55

*La obtención del modelo en forma normalizada mediante manipulación simbólica en Matlab se detalla en el vídeo [ mpmm3, (15:45, opcional)], pero su contenido NO forma parte de las competencias a evaluar en la asignatura de SAU.

Ejemplos adicionales. Más ejemplos de modelado aparecen como base de problemas y casos de estudio en temas siguientes. El formulario básico de modelado que deberíais tener bien dominado de cara al examen aparece en la Sección 6.1 de este documento, en el capítulo de casos de estudio más complejos que cierra la docencia del primer parcial.

Capítulo 2
Parcial 1, UD2: Respuesta temporal de sistemas dinámicos continuos, Simulación, Linealización

Palabras clave en guía docente:  simulación e integración numérica, características cualitativas esenciales de la respuesta temporal, sistemas lineales y principio de superposición, linealización aproximada.

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 4, 19/09]

[28: ecdifdf] Ecuaciones diferenciales: definiciones básicas controltheoryorg (YouTube) **  16:06

2.1. Simulación e integración numérica. Características cualitativas esenciales de la respuesta temporal

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 4, 19/09]

[29: sim1] Simulación Matlab (Euler, ode45) de un sistema masa-muelle-amortiguador **  14:42

[30: term1sim] Simulación (ode45) de un tanque de calentamiento de primer orden **  10:43

[31: mpmm4] Modelado motor-polea-muelle-masa (4): simulación ODE45, análisis equilibrio ***  22:56

[32: odemix] Simulación de un tanque de mezclado con Matlab (integración numérica ode45) **  10:18

*Existen otros métodos diferentes a ode45 que en algunos casos complejos son más rápidos (ver, opcionalmente, [ ode45vs15s, (08:14, opcional)]).

[33: nbdsimc] Simulacion N cuerpos bajo fuerza gravedad: código Matlab ode113, animación ***  14:57 *Link to English version

Contenido opcional más avanzado: También podría seros de interés esta simulación (con animación) de un carro/péndulo: [ cpinesim, (15:28, opcional)], o el código completo de simulación interactiva (respondiendo a teclado) del vídeo [ interactank, (14:58, opcional)] animando el llenado y vaciado de un depósito de líquido.

2.1.1. Cuestionario/Resumen

1. ¿En los integradores numéricos de Matlab, cómo hay que expresar el modelo a simular?

2. ¿Qué se necesita conocer para simular un modelo matemático normalizado de un sistema dinámico?

3. ¿Cómo influye el “paso de integración” (esto es, el intervalo de tiempo entre puntos de las trayectorias calculadas) en una simulación?

4. ¿Qué significa que un integrador numérico sea de “paso variable”?

5. ¿Qué es el error de “redondeo” en una simulación?

6. ¿Qué dos tipos de “error” hay en una simulación?

7. ¿Qué problema puede tener un paso de simulación excesivamente grande?

8. ¿Es necesario conocer las condiciones iniciales de las entradas y salidas de un sistema para simularlo?

Respuestas del Cuestionario

1. Como una ecuación de estado en forma normalizada (EDO primer orden), que devuielva las derivadas de las variables de estado, $\frac{dx}{dt}=f(t,x)$ siendo el “reloj” el primer argumento y el vector de estado el segundo.

2. Las condiciones iniciales de las variables de estado del sistema $x(0)$, y las funciones del tiempo concretas (trayectorias) de las variables de entrada $u(t)$.

3. Si es reducido, la exactitud aumenta (tolerancia/error menor) pero el tiempo de cómputo crece en un problema complejo.

4. Que, en función de la “suavidad” de la función que está simulando, aumenta o disminuye el paso de integración de modo que sea lo más grande posible siempre que se garantice la tolerancia de error (y se determina en cada paso de simulación).

5. El debido a la precisión (número de bits) finita a la hora de representar los números en la unidad de cálculo de un microprocesador

6. El error de redondeo (precisión finita de coma flotante) y el error de aproximación de la derivada $\frac{dx}{dt}$ por una diferencia finita $\frac{x(t+T)-x(t)}{T}$, siendo $T$ el paso de integración.

7. El error de aproximación se hace inaceptablemente grande, y podría dar lugar a inestabilidad del algoritmo de integración numérica si dicha acumulación hiciera que el error tendiera a infinito.

8. Sí en el caso de las entradas (y muchísimo más: hay que conocer su valor no solo en $t=0$ sino para todo $t\ge 0$). No en el caso de las salidas: lo que conceptualmente se necesita son las condiciones iniciales del estado $x(0)$ para simular la ecuación de estado $\frac{dx}{dt}=f(x,t)$. Obviamente, las condiciones iniciales de la salida pueden calcularse a partir de la ecuación de salida $y(0)=g(x(0),u(0),t)$ o similar pero, como se ha dicho, lo que se necesita para simular es la condición inicial del estado y la trayectoria completa de la entrada.

2.2. Sistemas lineales y principio de superposición, Linealización aproximada

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 4 19/09, Sesión 5 22/09]

Funciones de una variable

[34: lint1] Linealización de funciones de una variable (recta tangente) *  10:57

[35: lint2] Linealización de funciones de 1 variable (II): serie de Taylor, discusión, conclusiones *  12:18

[36: linsisoml] Linealizacion de funciones de 1 variable: ejemplo Matlab (Symbolic Toolbox) **  12:40

Funciones de varias variables y sistemas dinámicos

*Prerequisitos sobre derivadas parciales (jacobiano) pueden ser consultados en [ derivs, (10:13, prereq)].

[37: lint3] Linealización (III): caso multivariable (subespacio tangente) **/ ***  10:49

[38: linmiso1] Linealización de función de 2 variables; ejemplo Matlab (symbolic toolbox + revisión teórica Taylor) **  16:54 *Link to English version

[39: lintdin] Linealización (IV): sistemas dinámicos (ecuaciones algebraico-diferenciales) **  10:34

Contenido opcional más avanzado: El error de linealización y su relación con derivadas ‘segundas’ se analiza en el vídeo [ linmiso2, (09:20, opcional)].

2.2.1. Cuestionario/Resumen

1. ¿Es la ecuación $\frac{dx}{dt}=-2x+u$, $u(t)=t^2$ una EDO lineal?

2. Si determinado sistema lineal, ante $x(0)=0$ y $u(t)=\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)$ tiene de salida $x(t)=\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)-e^{-t}$, ¿cuál será su salida ante $u(t)=8\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)$. ¿Y ante $u(t)=\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(4t)$?

3. Si determinado sistema lineal, ante $x(0)=0$ y $u(t)=\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)$ tiene de salida $x^{[1]}(t)=\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)-e^{-t}$, y ante $u(t)=\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(3t)$ tiene $x^{[2]}(t)=3\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(3t)$, ¿cuál será su salida ante $u(t)=8\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)-5\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(3t)$.

4. ¿Cuál es la linealización de $\frac{dx}{dt}=-\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x)+\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x)+1$ alrededor de su equilibrio?

Respuestas del Cuestionario

1. Sí, la forma de onda de $u(t)$ no tiene nada que ver con que el sistema cuyo modelo es la EDO sea o no lineal.

2. $x(t)=8\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)-8e^{-t}$. Para la segunda forma de onda, como no es “proporcional” a la primera, no se puede calcular a partir de ella: deberíamos resolver de nuevo las ecuaciones diferenciales.

3. Superposición: $y(t)=8x^{[1]}(t)-5x^{[2]}(t)=8\cdot (\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(2t)-e^{-t})-15\cdot \text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(3t)$

4. El equilibrio $\frac{dx}{dt}=0$ resulta $x_e=0$ (hay más soluciones, habría que representar$-\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x)+\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x)+1$ y ver si cruza por cero en algún otro sitio). Con lo cual, $\frac{d\mathrm{\Delta }x}{dt}=(-\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x_e))\cdot \mathrm{\Delta }x+(\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(x_e))\cdot \mathrm{\Delta }x+0$ resulta $\frac{d\mathrm{\Delta }x}{dt}=x$. La linealización en otros puntos de funcionamiento podría tener coeficientes diferentes en el modelo resultante.

2.3. Ejemplos y casos de estudio

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 5, 22/09 semana de problemas (sesiones finales)]

[40: lin1] Simulación y linealización modelo calentamiento por radiación (ejemplo Matlab ode45) **  27:01

[41: mod2mass] Modelado y linealización de un sistema no lineal de dos masas y dos muelles (Matlab) **  08:19

[42: term1lin] Tanque de calentamiento de líquido de primer orden: linealización y análisis de propiedades **  14:11

Tiovivo (péndulo rotatorio)

[43: tiovl1] Dinámica lateral tiovivo (3): linealización (modelo no normalizado) ***  16:52

[44: tiovl2] Dinámica lateral tiovivo (4): linealización a partir de ecuación de estado normalizada no lineal ***  07:31

[45: tiovl3] Dinámica lateral tiovivo (5): linealización de ecuación de estado con “jacobian”, forma Ax+Bu ***  10:00

Sistema de muelles

[46: moll3mod2] Modelado de sistema mecánico de 4 muelles y 3 masas: recapitulación, expresión matricial dx/dt=Ax+Bu **  10:13 *Link to English version

[47: mpmm5] Motor polea masa muelle (5): forma normalizada matricial lineal (A,B,C,D) **  15:32

Tanque de mezclado

[48: linmix] Linealización de un modelo tanque de mezclado, simulación comparada con original (ode45, Matlab) **  10:55

[49: linmixqs] Modelado, Linealización y Simulación de tanque de mezclado con 3 entradas (Matlab) ***  09:45

Contenido opcional más avanzado: [50: tiovl4] Dinámica lateral tiovivo (6): comparativa modelo aproximado linealizado versus no lineal (ode45) ***  10:57

$\bullet$ En algunos casos, un cambio de variable puede hacer una linealización “exacta”: en este caso del tiovivo cambiando la velocidad angular al cuadrado (entrada) por una nueva variable, ver vídeo [ tiovl5, (07:49, opcional)]... pero en muchos sistemas eso NO es posible y por eso se debe abordar la linealización aproximada como hemos hecho en este tema.

Como tener un sistema donde la linealización exacta sea posible es infrecuente, y cuando ocurre a veces es “trivial” darse cuenta, NO se suele detallar/evaluar en asignaturas iniciales, sino que se deja para asignaturas más avanzadas donde los casos complejos se abordan con lo que se llama “linealización por realimentación”.

[51: moll3sim1] Sistema mecánico de 4 muelles y 3 masas: simulación ode45 vs lsim **  08:49 *Link to English version

$\bullet$ Algunos modelos son el “promedio” de muchas transiciones microscópicas, como un modelo macroscópico de un biorreactor [ bio1mod, (19:53, opcional)] a partir de una probabilidad “microscópica” de que una célula al azar se divida. De hecho, llevado al extremo de molécula a molécula, tenemos las leyes macroscópicas de gases a partir de la teoría cinética molecular, por ejemplo, o la “termodinámica estadística”. Por simplicidad, estas ideas NO entran en los contenidos de modelado de los examenes de SAU.

$\bullet$ También fuera de los contenidos a evaluar en SAU, existen modelos dinámicos más complejos con ecuaciones en derivadas parciales (orden ‘infinito’), como este ejemplo de calentador tubular [ termedp, (10:56, opcional)] .

$\bullet$ Código de animación de los muelles (no entra en objetivos de asignatura), se explica en [ moll3ani, (11:11, opcional)].

Capítulo 3
Parcial 1, UD3: Identificación experimental de parámetros de un modelo

Palabras clave en guía docente:  Empleo de algoritmos de optimización, Aplicación de la simulación en la identificación, Etapas de la identificación.

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 8, 03/10]

Nota: Estos contenidos son objeto de evaluación en la PL2 (no van al examen escrito).

3.1. Generalidades y revisión de conceptos básicos

Si se tienen datos de entradas y salidas a un sistema, pueden optimizarse los valores de los ‘parámetros constantes’ para que ‘ajusten bien a los datos’. Ese es el objetivo del capítulo.

Optimización: Minimimizar (o maximizar) una función es un problema clave en la matemática aplicada y la ingeniería: nuestro objetivo es diseñar “lo mejor”, “lo que menos potencia consuma”, “lo que más rápido acabe la tarea”, etc. La optimización en procesos industriales, logística, etc. es el objeto de estudio de la investigación operativa.

Grosso-modo, los algoritmos de optimización pueden basarse en:

• información local (derivadas a cero, cálculo de gradientes, jacobianos, hessianos, método de Newton, multiplicadores de Lagrange, etc.; ver vídeo [ optimi, (06:44, opcional)] para un repaso rápido) o

• “tirar un dado al azar” (búsqueda aleatoria). La pura búsqueda “al azar” de “una aguja en un pajar” no es operativa salvo en problemas muy sencillos (una o dos variables en un rango pequeño), con lo que los algoritmos prácticos son de “búsqueda aleatoria dirigida”, con múltiples variaciones sobre ideas básicas explotando que “cerca de soluciones buenas podría haber otras soluciones quizás mejores” si la función a optimizar es “suave”.

Los segundos tardan más que los primeros, pero “con el suficiente tiempo” siempre encuentran el óptimo mientras que los algoritmos de gradiente o similar pueden atascarse en mínimos locales. Esto se discute en el vídeo siguiente:

[52: optimfmga] Optimización local (fmincon) versus global (algoritmo genético): ejemplo Matlab **  05:56

En ajuste de parámetros $𝜃$ de un modelo estático $y=f(x,𝜃)$ a $N$ datos experimentales $\{(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, …, $(x_N,y_N)\}$, la función a minimizar suele ser el error cuadrático acumulado:

Esto es lo que habrás estudiado en asignaturas previas sobre mínimos cuadrados, en particular el caso en que $f$ es lineal $y=x^T𝜃$ (regresión lineal, matriz pseudoinversa, …).

3.2. Identificación en Sistemas Dinámicos

Las ideas anteriores pueden generalizarse a sistemas dinámicos en forma normalizada {$ẋ=f(x,u(t),𝜃)$, $y=g(x,u(t),𝜃)$} si se dispone de muestras de una trayectoria $y(t)$ ante cierta entrada $u(t)$ y condiciones iniciales $x(0)$. Eso se aborda en los siguientes vídeos:

[53: identga] Identificación experimental con algoritmo genético de parámetros de modelo masa-muelle-amortiguador ***  19:49

[54: identganl] Identificación experimental modelo no-lineal masa-muelle-amortiguador: algoritmo genético, fmincon ****  17:33

Contenido opcional más avanzado: El “System Identification Toolbox” de Matlab tiene rutinas especializadas para ello, [ idnlg, (18:04, opcional)], aunque no entran en los objetivos de la asignatura SAU el saber utilizarlos (las ideas subyacentes, de todas formas, son similares a las del vídeo del algoritmo genético arriba propuesto).

3.2.1. Cuestionario/resumen

1. ¿Cuál es el objetivo principal del proceso de identificación experimental?

2. ¿Por qué es necesario seleccionar una “zona de datos adecuada” y definir un “punto de operación”?

3. Explique el propósito de convertir los datos brutos a “variables incrementales”.

4. ¿Cuál es la diferencia entre el modelo lineal y el no lineal del sistema masa-muelle-amortiguador en los ejemplos?

5. ¿Qué es el “índice de coste de mínimos cuadrados sobre error de predicción” y cómo se utiliza en identificación experimental?

6. Describa la función del algoritmo genético (ga) en el proceso de optimización. Describa sus ventajas e inconvenientes respecto a optimizadores locales (gradiente, hessiano).

7. ¿Por qué se dividen los datos en un conjunto de “ajuste” y un conjunto de “validación”?

8. ¿Es cierto que, en ajuste a un conjunto de datos para identificación experimental, sólo pueden ajustarse parámetros $𝜃$ en modelos estáticos $y=f(u,𝜃)$?

9. Según los resultados del ejemplo, ¿justifica la mejora en el ajuste la mayor complejidad del modelo no lineal? Explique basándose en los datos de validación.

10. ¿Es cierto que un modelo más complejo que ajusta mejor los datos de “ajuste” o “entrenamiento” siempre será mejor en “validación” respecto a un modelo más simple?

Respuestas al cuestionario

1. El objetivo principal es calcular los parámetros de un modelo que mejor se ajusten, en el sentido de mínimos cuadrados, a un conjunto de datos experimentales. En los ejemplos, se busca encontrar los valores de $M$, $b$ y $k$ (y $k_{nolin}$ en el caso no lineal) que minimizan el error entre la simulación y el experimento.

2. La teoría de sistemas lineales busca un modelo válido alrededor de un cierto punto de operación o funcionamiento, ignorando transitorios iniciales “raros” o con grandes incrementos que podrían no ser representativos del comportamiento “estacionario” sin eventos improbables o fallos.

3. Se pasa a variables incrementales para analizar el comportamiento del sistema alrededor del punto de operación. Esto implica trasladar el origen de tiempos, fuerzas y posiciones para que el punto de equilibrio corresponda al valor cero, facilitando el análisis y la modelización (particularmente, el caso lineal).

4. El modelo lineal asume que la fuerza del muelle es proporcional a la posición ($-k\cdot pos$). El modelo no lineal añade un término cuadrático ($-k_{nolin}\ast po{s}^2$), lo que lo convierte en un modelo de 4 parámetros y permite capturar comportamientos que el modelo lineal no puede representar.

5. El índice de coste de mínimos cuadrados, denotado como $J$, es una función que calcula la suma de los cuadrados de las diferencias entre la salida simulada del modelo y los datos experimentales sum((Ysimulada - Yexperimental).^2). La optimización busca encontrar los parámetros del modelo que minimizan el valor de este índice para un experimento dado.

6. El algoritmo genético (ga) es un optimizador global, descrito como una ”búsqueda aleatoria dirigida”, que se utiliza para encontrar el conjunto de parámetros del modelo que minimiza la función de coste $J$. Es útil para explorar un amplio espacio de búsqueda y evitar quedar atrapado en mínimos locales gracias a las pruebas totalmente aleatorias (pero es más lento que otros algoritmos).

7. Los datos se dividen para evitar el sobreajuste (overfit) a características “espúreas” de un experimento concreto. El conjunto de “ajuste” se usa para encontrar los parámetros óptimos del modelo, mientras que el conjunto de “validación” se usa para comprobar si el modelo generaliza bien a datos nuevos que no ha visto durante el proceso de optimización, sirviendo como una prueba de su calidad.

8. NO es cierto: pueden ajustarse modelos estáticos $y=f(u,𝜃)$ programando $f$, pero también pueden ajustarse modelos dinámicos $ẋ=f(x,u,𝜃)$, $y=g(x,u,𝜃)$ generando trayectorias con un integrador numérico, como ode45 en los ejemplos de código.

9. Sí, la mejora justifica la complejidad. Aunque la mejora en los datos de ajuste es modesta (una reducción del error al 90$$% de la desviación típica), en los datos de validación es mucho más significativa, reduciendo el error al 60$$%. Esto indica que la no-linealidad añadida captura una característica física importante del sistema, mejorando su capacidad de generalización a otros puntos de operación.

10. NO, es rotundamente falso. Modelos excesivamente complejos necesitan muchos más datos para ser ajustados (por eso la IA sólo ha sido posible cuando se le ha podido alimentar con ‘todo el texto e imágenes creados por el hombre en los últimos mil años’), porque en caso contrario pueden ajustar una característica ‘espúrea’, ‘particular’ de un experimento con datos limitados (red neuronal que clasifica como ‘perro’ todo lo que tenga fondo verde porque los datos de entrenamiento eran fotos en parques).

Capítulo 4
Parcial 1, UD4: Obtención analítica de la respuesta temporal de sistemas continuos lineales (Laplace/estado)

Palabras clave en guía docente:  Uso de la transformada de Laplace, representaciones entrada-salida, funciones de transferencia, representación interna/externa, sistemas complejos.

4.1. Ecuaciones diferenciales, método de Laplace

Introducción a resolución de ecuaciones diferenciales

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 6, 26/09]

Si no tenemos “ni idea” de resolver EDO, Matlab lo hace por nosotros:

[55: masmusym1] Resolución ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con Matlab (dsolve): respuesta libre masa-muelle **  11:30 *Link to English version

Código de animación se discute en [ masmuAnim, (10:36, opcional)].

[56: masmusymForz] Resolución EDO con Matlab (dsolve): respuesta forzada masa-muelle (constante + senoidal) ***  12:59 *Link to English version

[57: dsolvevsode45] Resolución simbólica (dsolve) versus numérica (ode45): masa muelle amortiguador, ventajas e inconvenientes ***  14:10

4.1.1. Cuestiones y respuestas básicas sobre ecuaciones diferenciales

1. ¿Qué es una ecuación diferencial?, Pon ejemplos
   Es una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas. Ejemplos $\frac{dy}{dt}=-2\ast y+sin(t)$, $\frac{dy}{dx}=-3\frac{dy}{dt}-y$.

2. ¿Por qué son importantes las ecuaciones diferenciales en el modelado de fenómenos físicos?
   Porque describen cómo cambian las magnitudes físicas en el tiempo o en el espacio, permitiendo modelar sistemas dinámicos: las magnitudes en instantes y posiciones “cercanas” obedecen ciertas leyes; cuando la “cercanía” tiende a cero, esas leyes es escriben como ecuaciones diferenciales.

3. ¿Cómo se distingue una EDO (ecuación diferencial ordinaria) de una EDP (ecuación diferencial en derivadas parciales)?
   Una EDO involucra derivadas respecto a una sola variable independiente (que en Física suele ser el tiempo $t$), mientras que una EDP involucra derivadas parciales respecto a varias variables (en Física suelen ser tiempo $t$ y posición). Las EDO son un caso particular, pues, de las EDP.

4. ¿Qué significa el orden de una ecuación diferencial?
   Es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.

5. ¿Qué es la forma normal de una ecuación diferencial?
   El resultado de, introduciendo variables intermedias, expresarla como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden $ẋ=f(x,t)$. Corresponde al concepto de ecuación de estado en Teoría de Sistemas.

6. ¿Qué diferencia hay entre una ecuación diferencial lineal y una no lineal? Pon un ejemplo de ambas.
   En una ecuación lineal, la función y sus derivadas aparecen con exponente $1$ y no se multiplican entre sí; en una no lineal, sí. Ejemplo: $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-2x+\frac{dx}{dt}$ (lineal), $\frac{dy}{dt}=-y^2$ (no lineal).

7. ¿Qué se entiende por condición inicial en un problema de valor inicial?
   El valor de la función (y a veces de algunas derivadas) en un punto dado, necesario para determinar una solución única. En Física, suele ser el estado (energía o información almacenada) en el momento de comenzar cierto experimento del que quiere predecirse la trayectoria temporal de las variables (posición y velocidad iniciales, carga de condensadores, volumen almacenado en depósitos, …).

8. ¿Qué es una solución general de una EDO?
   Es una familia de funciones que depende de constantes arbitrarias y satisface la ecuación. Por ejemplo $\frac{dx}{dt}=-3x$ tiene de solución general $x(t)=C\cdot e^{-3t}$.

9. ¿Qué es una solución particular de una EDO?
   Es una función concreta, obtenida al asignar valores a las constantes de la solución general o directamente a partir de condiciones iniciales. En el ejemplo anterior, si $x(0)=6$, la solución particular asociada es $x(t)=6\cdot e^{-3t}$.

10. ¿Qué caracteriza a una ecuación diferencial homogénea?
    Que todos sus términos dependen de la función desconocida y sus derivadas; no hay término independiente. Por ejemplo, $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2y=0$.

11. ¿Qué significa la existencia y unicidad de soluciones en una EDO?
    Que bajo ciertas condiciones (como la de Lipschitz) se garantiza que existe una única solución que satisface las condiciones iniciales. Es la base de las ideas de ‘determinismo’ en Física: que, conocidas las condiciones iniciales de un sistema aislado en un instante inicial (con “infinita precisión”), se podría predecir el estado en cualquier instante futuro.

12. ¿Qué se entiende por estabilidad de una solución en ecuaciones diferenciales?
    Que las soluciones que parten de condiciones iniciales cercanas permanecen próximas a una solución de referencia a lo largo del tiempo. En Física, esa ‘solución de referencia’ suele ser una ‘solución particular constante’ que solemos llamar ‘equilibrio’, y caracterizamos dichos puntos de equilibrio como estables o inestables.

13. ¿Cuál es la diferencia entre un modelo determinista y uno estocástico basado en ecuaciones diferenciales?
    En un modelo determinista, las condiciones iniciales y las entradas futuras determinan completamente la evolución futura del sistema. En un modelo estocástico, se añaden términos aleatorios (por ejemplo, ruido blanco o coloreado) para representar incertidumbre, variabilidad o perturbaciones externas, de modo que la evolución futura sólo puede ser expresada en términos probabilísticos (no objetivo de cursos elementales en ingeniería, usualmente).

Uso de la transformada de Laplace

Representaciones entrada-salida. Funciones de transferencia.

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesiones 6 y 7, (26/09 y 29/09)]

La “teoría de resolución de Ecuaciones Diferenciales mediante la transformada de Laplace” se supone que es objetivo en detalle de cursos del área de Matemática Aplicada. Una lista de reproducción completa (en Inglés) con toda la teoría la tienes en:

https://youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxcJXnLr08cyNaup4RDsbAl1&si=uHzdZP6EypWJRDv2

El objetivo de los “profesores de control” es su “aplicación” a problemas de Ingeniería de Sistemas y Automática, más que al demostración de la teoría subyacente, por tanto, nos concentraremos en ejemplos.

[58: fdt] La función de transferencia controltheoryorg (canal YouTube) **  16:03

Ejercicios

[59: ilaplaceex1] Respuesta temporal mediante fracciones simples y tablas de transformada inversa: sistemas 1er orden **  13:53

[60: rcstepsin] Circuito RC serie: modelado y respuesta entrada escalón/senoidal por transformada de Laplace ***  18:48

[61: pendi1EN] Unstable inverted pendulum: modelling, linearization, free response (Laplace) **  13:20

[62: masmuLapl] Resolución EDO por transformada de Laplace: ejemplo masa-muelle ante escalón ***  17:59

[63: ilaplaceex2] Respuesta temporal mediante fracciones simples y tablas de transformada inversa: sistemas 2o orden polos reales **  15:58

[64: ilaplaceex3] Respuesta temporal mediante fracciones simples y tablas de transformada inversa: sistemas 2o orden polos complejos ***  14:57

Representación interna/externa

[65: RCRmodEN] Modelling series RC circuit with leakage resistance: state space + Laplace domain (Symbolic toolbox) **  08:52

[66: masmusym2] Resolución ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con Matlab (dsolve): respuesta libre masa-muelle representación interna **  07:53 *Link to English version

[67: mdt] Representación en Matriz de Transferencia de sistemas multivariables **  10:27

Contenido opcional más avanzado: En representación interna, se puede resolver la dinámica de un sistema utilizando exponenciales de matrices, ver teoría opcional en [ rtss1, (11:00, opcional)], [ rtssexpl, (10:32, opcional)].

4.2. Sistemas más complejos

Sistemas con retardo

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 9, 6/10]

Retardos en la dinámica del sistema:

Opcionalmente, podéis visualizar un vídeo de A. Barrientos (U.P. Madrid) sobre motivación y aproximación de sistemas con retardo [ retard, (13:17, opcional)]-

[68: dly1er1] Respuesta temporal sistema primer orden con retardo de transporte: dsolve, discusión sobre resultados **  05:57

[69: dly1er2] Respuesta temporal sistema primer orden con retardo: resolución por transformada de Laplace ***  12:29

Retardos por forma de onda de entrada (p.ej., a tramos):

[70: sinpulL] Transformada de Laplace de un pulso senoidal (semiperíodo) **  11:33 *Link to English version

[71: dly1erpul] Respuesta temporal primer orden inestable ante pulso rectangular (transformada de Laplace) ***  19:38

[72: dlyramp] Respuesta temporal sistema segundo orden ante rampa truncada, por transf. Laplace; comparación con escalón ****  15:58

[73: sinpulRCR] Respuesta temporal circuito RCR ante pulso senoidal y condiciones iniciales no nulas (1: Laplace, superposición) **  13:51 *Link to English version

Capítulo 5
Parcial 1, Otros casos de estudio

Las últimas sesiones del parcial se dedicarán a repaso/desarrollo de casos de estudio adicionales. El formulario básico que deberíais tener bien dominado de cara al examen aparece en la Sección 6.1 al final de este capítulo.

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesiones 9 y 10 (6/10, 13/10)]

[74: ilaplaceex4] Respuesta temporal mediante fracciones simples y tablas de transformada inversa: sistema 4o orden ante rampa ****  12:39

[75: LinrushlinEN] Inrush current when energising an inductor, linear ODE case study ***  22:52

[76: rcrml] Modelado de un circuito R-C-R con dos fuentes de tensión: matriz de transferencia, término de condiciones iniciales, resp. escalón ***  08:43

[77: rcrssml] Modelado/simulación de un circuito R-C-R con dos fuentes de tensión: representación interna ***  07:49

[78: sinpulRCR2] Respuesta temporal circuito RCR ante pulso senoidal y condiciones iniciales no nulas (2: por tramos) ***  12:43 *Link to English version

Contenido opcional más avanzado: *La respuesta ante un tren de pulsos (repetidos) del circuito RCR del vídeo anterior está en el vídeo [ trenpulRCR, (15:45, opcional)].

Comprensión “intuitiva” del control en bucle abierto lineal

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 11, 17/10]

[79: linregla3] Utilización intuitiva de dinámica lineal: tren de escalones con regla de tres, control bucle abierto *  15:26 *Link to English version

Contenido opcional más avanzado: Opcionalmente, podéis visualizar el vídeo [ linregla3ord2, (08:16, opcional)] para comprobar que la metodología podría no funcionar tan bien en sistemas de orden superior a 1.

Motor eléctrico CC

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 11, 17/10]

[80: motccmodel] Modelado motor corriente continua haciendo girar una carga (representación en variables de estado) **  13:59

*El modelado añadiendo un engranaje reductor se discute en el vídeo 90.

[81: motcctfstep] Motor corriente continua haciendo girar carga: función de transferencia y respuesta escalón (step) ***  14:58

[82: motccLapl] Motor corriente continua que gira carga: respuesta ante escalón (método Laplace) y tren de escalones ***  15:53

Tratamiento térmico de una pieza de 2 capas

*Fechas de clases sobre este tema: [Sesión 11, 17/10]

[83: term2mod1] Modelado de calentamiento pieza de 2 capas: representación interna (espacio de estado) **  13:35

[84: term2mod2] Modelado de calentamiento pieza de 2 capas, opciones alternativas: 1er orden, EDP, elementos finitos ***  10:58

[85: term2step] Calentamiento pieza de 2 capas: función (matriz) de transferencia, respuesta escalón control toolbox ***  15:44

[86: term2ramp] Calentamiento pieza de 2 capas: tratamiento térmico en rampa para limitar diferencia de temperaturas ****  17:51

Caso de estudio: entradas a tramos

[87: pwlap1] Respuesta temporal con entrada a tramos: planteamiento general, ejemplo tren escalones (superposición) **  12:53

[88: pwlap2] Respuesta temporal: entrada a tramos, ejemplo tren de rampas **  09:09

[89: pwlap3] Respuesta temporal entrada a tramos, ejemplo rampas y escalones combinados ***  08:35

Modelado de sistemas de engranajes, poleas...

Antes de abordar engranajes y poleas en general, si no estás familiarizado, podrías querer visualizar el ejemplo más sencillo del vídeo 16.

[90: moteng] Modelado motor CC con reductora ***  18:54

Este caso de estudio más complejo podría ser que no diera tiempo a verlo en aula, dependiendo de la marcha de la clase o de la decisión de revisar exámenes de años anteriores. Se deja para vuestro estudio individual.

[91: ep1] Sistema engranajes y poleas (lineal). Modelado y Función de transferencia **  19:37

[92: ep2] Sistema engranajes y poleas (lineal): representación en variables de estado **/ ***  18:20

Transformador eléctrico no ideal

Este caso de estudio podría ser que no diera tiempo a verlos en aula, dependiendo de la marcha de la clase o de la decisión de revisar exámenes de años anteriores. Se deja para vuestro estudio individual.

[93: tni1] Modelado de un transformador eléctrico no ideal: ecuaciones físicas ***  09:37

[94: tni2] Representación transformada de Laplace (func. de transferencia) y respuesta temporal de transformador eléctrico no ideal ***  06:16

[95: tni3] Modelado de un transformador eléctrico no ideal: representación en variables de estado ***  07:45

Contenido opcional más avanzado: $\bullet$ Los modelos robóticos no suelen entrar en los temas/tipos de modelos discutidos en SAU, pero ya tienes los conocimientos suficientes para comprender el siguiente vídeo, que puedes opcionalmente visualizar:

[96: robdmod] Modelado cinemático de un robot diferencial de 2 ruedas no holonómico para control por punto descentrado ***  07:02

$\bullet$ Si te interesa saber cómo ‘vuela’ un avión o un planeador, el modelo más sencillo del vuelo (modelo fugoide), desarrollado hace 120 años, su simulación y su linealización y estabilidad, se analizan en el caso de estudio de los vídeos siguientes:

• Modelado: [ intrid1, (15:29, opcional)], [ fugoid1, (15:16, opcional)],

• Simulación y animación Matlab: [ fugsim, (10:39, opcional)], [ fugsimcod, (09:43, opcional)]

• Puntos de equilibrio, linealización y análisis de estabilidad: [ fugeqlin, (19:30, opcional)].

Obviamente, modelos más complicados de movimiento en el espacio con 6 grados de libertad de una aeronave dan para un curso completo de ‘dinámica de vuelo’ fuera de los objetivos y competencias de un ingeniero industrial.

Capítulo 6
Resumen, formulario para examen (Parcial 1)

6.1. Formulario de ‘modelado’ para examen

Los siguientes fenómenos físicos se suponen conocidos para examen, con lo que las fórmulas no tendrían por qué aparecer en el enunciado. SI el problema discute otros fenómenos no mencionados aquí, aparecerán sus ecuaciones elementales en el enunciado del problema..

Sistemas mecánicos:

Muelles, amortiguadores, movimiento traslación:

Muelles, amortiguadores, movimiento rotación ($J$: momento de inercia, $T$: par):

+ Concepto de relación de transmisión (engranajes, …)

Nota: La fricción “seca” de Coulomb  $F_{roz}=\mu \cdot F_{normal}\cdot signo(v)$  no es linealizable en $v\approx 0$ (discontinuidad). Aunque está presente en muchos mecanismos, no será necesario incluirla en los modelos si no se pide explícitamente en el enunciado del problema. En caso de que se pida, sí se puede linealizar si, en la aplicación concreta, el punto de operación de la velocidad es distinto de cero. También puede haber fricción no lineal (p.ej. proporcional al cuadrado de velocidad en modelos de vehículos, etc.)... Si es necesario, se detallará la ecuación elemental en el enunciado del problema concreto.

Sistemas eléctricos:

Leyes de Kirchoff (mallas, nudos), para balances.

Ecuaciones elementales de resistencia, bobina, condensador:

Motor eléctrico de corriente continua (excitación independiente), brushless DC motor:

*Diodos, transistores, amplificadores, sensores, etc., si aparecen en el problema, se darán sus ecuaciones elementales en el enunciado.

Sistemas de fluidos incompresibles:

Tubería simplificada (con válvula manipulada si $u\in [0,1]$):

Presión hidrostática:

*También puede usarse $q={\kappa }_h\cdot \sqrt{h_2-h_1}$ si se desea, haciendo ${\kappa }_h=k\cdot \sqrt{\rho g}$, y omitiendo las ecuaciones de la presión hidrostática en problemas sencillos.

Almacenamiento en tanque (dinámica), caso particular tanque cilíndrico/prisma de sección $S$:

*Si el tanque no es de sección constante, sólo hay que cambiar $V=f(h)$ arriba por la función que de volumen según altura. Por ejemplo, pirámide: $V=S_1{h}^3∕3$, siendo $S_1$ el área de la base cuando la altura es de un metro. Este tipo de fórmulas de volumen de cuerpos que no sean cilindro o prisma se darán en el enunciado, en caso de necesitarse.

Sistemas térmicos:

Calentamiento de un cuerpo de masa $M$ constante ($Q$ tiene dimensiones de potencia calorífica):

Transmisión de calor por conducción/convección y por radiación:

Potencia calorífica disipada en resistencia $Q_R=R\cdot i^2$.

Potencia calorífica disipada por fricción $Q_{roz}=b\cdot v^2$, o $b\cdot {\omega }^2$ en rotación.

No hace falta memorizar la física de las variaciones de calor específico en función de temperatura o cambios de fase.

Sistemas de fluidos+térmicos+químicos:

$\bullet$ Balance de masas (en fluidos incompresibles, se puede expresar como balance de volúmenes)

$\bullet$ Balance de energías. Supondremos que los incrementso de entalpía de líquido incompresible son $\mathrm{\Delta }H=M{C}_e\mathrm{\Delta }T$, siendo $\mathrm{\Delta }T$ el incremento de temperatura respecto a cierto punto de operación (excluimos cambios de fase). En un volumen de control:

siendo $H_{in}$ la entalpía de fluidos entrantes, $H_{out}$ la de los salientes y $Q$ la potencia aportada (agitación, resistencias, reacción química exotérmica o endotérmica, transmisión de calor con el ambiente, …) al interior del volumen de control.

6.2. Tablas de Transformadas de Laplace/formulario

*Realmente, la primera es caso particular de la tercera con $p=0$ (o cuarta con $a=0$), y la quinta y sexta lo son de las dos últimas con $a=0$.

Como las soluciones en sistemas de ingeniería suelen ser estables (exponenciales “negativas”, $e^{-5t}$ o similar), se suelen poner las tablas en la forma de la cuarta fila en adelante, en vez de como en la tercera, pero la tercera y cuarta filas son obviamente ‘lo mismo’ con $a=-q$.

Regla de la ‘derivada’:

Transformada de ecuaciones diferenciales:

EDO $\to$ FdT+TCI: Por ejemplo, $y^{″}+3y^{\prime }+5y=u+4u^{\prime }$ transforma a

y operando, tenemos:

FdT $\to$ EDO: A la inversa, la función de transferencia $\frac{s^2+7}{s^3+4s^2-2s+8}$ curresponde a $Y(s)=\frac{s^2+7}{s^3+4s^2-2s+8}U(s)$, o sea $(s^3+4s^2-2s+8)\cdot Y(s)=(s^2+7)\cdot U(s)$, que resulta en la EDO: $\frac{d^{3}y}{d{t}^3}+4\frac{d^{2}y}{dt}-2\frac{dy}{dt}+8y=\frac{d^{2}u}{dt}+7u$.

Regla del ‘retardo’: Si un experimento o señal no comienza en $t_{ini}=0$, sino en $t_{ini}=d$, entonces, dada un $f(t)$ ‘original’ comenzando en cero, con transformada de Laplace $L[f(\cdot )]=𝔽(s)$, su versión retrasada es:

Su transformada de Laplace es:

*Nota: en algunas soluciones o apuntes utilizamos únicamente “$f(t-d)$” para indicar “$f(t)$ retrasada $d$ segundos”, o sea $f_{retraso,d}$, a modo “informal” o suponiendo que si el argumento de $f$ es negativo, que el resultado es cero; pero la notación de la expresión (6.1) arriba es más clara, para evitar la ambigüedad que tendríamos pensando si $\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(t-3)$ es un seno con cierto desfase pero que empieza en cero, o es un seno retrasado que vale cero los tres primeros segundos.

Equivalencia de representaciones estado/FdT:

De representación normalizada en variables de estado lineal (matricial) a Función de Transferencia + T.C.I.:

En dominio temporal $\frac{dx}{dt}=Ax+Bu$ transforma a $X(s)={(sI-A)}^{-1}(B\cdot U(s)+x(0))$, la ecuación de salida $y=Cx+Du$ resulta en:

Cuando la matriz de transferencia es de tamaño $1\times 1$, se trata de una ‘función’ de transferencia de un sistema de 1 entrada y 1 salida.

Parte II
SEGUNDO PARCIAL

Capítulo 7
Parcial 2, UD5: Análisis de propiedades del comportamiento de sistemas dinámicos lineales

Palabras clave en guía docente:  análisis de la dinámica de un sistema a través de su función de transferencia, caracterización del comportamiento dinámico, sistemas de primer orden, sistemas de segundo orden, sistemas de orden superior, reducción de modelos, identificación experimental de funciones de transferencia.

Motivación.

El siguiente vídeo describe ‘qué queremos saber’ cuando tenemos un sistema complejo entre manos... en la colección completa, el vídeo está en la introducción del tema de procesos ’multivariables’, pero como únicamente plantea ‘qué preguntas deberíamos responder’ y no ‘cómo se hace’, también sirve para el caso sencillo ‘monovariable’, objetivo de SAU.

[97: propsmot] Análisis de propiedades en sistemas multivariables: motivación y planteamiento del problema **  07:44

7.1. Análisis de la dinámica de un sistema a través de su función de transferencia

*Fechas de clases sobre este tema: [Práctica PL3]

La forma más ‘trivial’ de analizar las propiedades de un sistema es ‘simular y ver qué pasa’. Un sistema no lineal debe ser simulado con métodos como Runge-Kuta (ode45) u otros, pero para sistemas lineales existe código específico, como lsim en línea de comandos o bloques en Simulink para una ‘interfaz gráfica de simulación’, como se hará en las prácticas finales.

[98: smktf] Simulink: simulación de sistemas dinámicos en función de transferencia Juan M. Herrero Durá (UPV) **  06:27

Análisis de estabilidad

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 13, 7/11]

[99: mpmm6] Motor polea masa muelle, análisis: estabilidad [6] ***  21:04

Teorema del Valor Final

[100: tvf1] Teorema valor final (Laplace) [1]: enunciado, uso y ejemplo sencillo ***  08:40

[101: tvf3] Teorema valor final (Laplace) [3]: relación con ganancia y ecuaciones en equilibrio ***  14:45

[102: tvf4] Teorema valor final (Laplace) [4]: ejemplos Matlab + generalización a entradas polinomiales ***  15:30

Contenido opcional más avanzado: Podéis consultar más detalle teórico y demostración en el vídeo [ tvf2, (07:28, opcional)].

Caracterización del comportamiento dinámico. Sistemas de primer orden

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 13, 7/11]

[103: ord1teo] Respuesta sistemas primer orden ante escalón: ganancia, constante de tiempo (teoría). **  14:49

[104: ejord1] Ejemplos de sistemas de primer orden (experimentales) Antonio Barrientos (UPM) *  06:09

[105: Ktau] Sistema 1er orden: efecto parámetros K, tau en respuesta escalón (animación ganancia y constante de tiempo) **  06:35

[106: ord1tramp] Respuesta sistemas primer orden ante rampa en función de ganancia y constante de tiempo: teoría + ejemplo Matlab **  14:31

Identificación experimental

Aunque están al final del tema por seguir la distribución de contenidos según la guía docente, ya tenéis los conocimientos suficientes para ver aquéllos que se refieren a sistemas de primer orden, vídeos [ fopd(10:40)], [ ord1exg(10:57)] y [ ord1exmal(17:36)].

Caracterización del comportamiento dinámico. Sistemas de segundo orden

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 14, 10/11]

[107: mmamexp] masa resorte amortiguador real Señales y Sistemas (canal YouTube) *  03:00

[108: ord2moti] Respuesta escalón sistemas de segundo orden: motivación, caso polos reales, coeficiente de amortiguamiento ***  13:48

[109: ord2step] Respuesta escalón sistemas segundo orden subamortiguados: sobreoscilación, frecuencia propia, tiempo pico, … ***  19:01

[110: paramsor2] Sistema segundo orden subamortiguado: efecto K, wn, wp, sigma, amortiguamiento (simulación/animación) **  19:56

Ceros (raíces numerador) de la dinámica de un sistema

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 15, 14/11]

[111: zeros1] Efecto de ceros en respuesta de un sistema: inversión de dinámica, superposición con derivada, ceros en el origen ***  15:25

El efecto de ceros (no en el origen) en la respuesta temporal en sistemas de primer y segundo orden se ilustra mediante simulación de respuesta escalón en los vídeos [ zerosord1, (12:47, opcional)] y [ zerosord2, (09:30, opcional)], respectivamente.

De todos modos, en el examen sólo entran los sistemas de segundo orden sin ceros... y en el caso de primer orden no es necesario memorizar ninguna fórmula especial: por ejemplo, un sistema $\frac{2s+1}{5s+1}$ puede expresarse como $\frac{2}{5}+\frac{3∕5}{5s+1}$ haciendo división de polinomios, de modo que es una ganancia instantánea $2∕5$ + la salida de un primer orden sin ceros. El vídeo a continuación presenta un experimento con un sistema de ese tipo:

[112: expPZ] Respuesta experimental circuito polo-cero (RC+C) Antonio Barrientos (UPM) **  03:40

7.2. Identificación experimental “caja negra” de funciones de transferencia

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 16, 17/11]

Sistemas de primer orden

[113: fopd] Modelos primer orden + retardo: propiedades resp. escalón e identificación experimental (manual) ***  10:40

[114: ord1exg] Identificación experimental de sistemas de 1er orden (+retardo): tres ejemplos que salen perfectos **  10:57

[115: ord1exmal] Identificación experimental de sistemas de 1er orden (+retardo): ejemplos no tan perfectos ***  17:36

Sistemas de segundo orden tipo 1er orden + integrador

Consultad el vídeo 172 (segunda mitad) en la página 113, parte de un caso de estudio de ‘control de movimiento de ejes’.

Sistemas de segundo orden subamortiguados

[116: ord2idg] Respuesta escalón sistemas de segundo orden subamortiguado: identificación experimental (ejemplo 1) ***  12:49

*En algunos exámenes se mezcla ‘identificación’ con ’diagrama de bloques’: lo veremos más adelante, en un ejemplo en el vídeo 183, página 117.

Contenido opcional más avanzado: Similar a cómo se hizo en la PL2, por optimización:

[117: procest] Identificacion con ‘procest’ de modelos de primer y segundo orden + retardo ***  07:28

[118: ord2idb] Respuesta escalón segundo orden subamortiguado: identificación experimental (2), comparación con procest ***  16:32

7.3. Caracterización de sistemas de orden superior. Reducción de modelos: dominancia y cancelación

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 17, 21/11]

[119: domycanc] Dominancia y Cancelación controltheoryorg (canal YouTube) **  16:27

[120: domp1] Dominancia (polos): idea básica y ejemplo Matlab ***  18:57

[121: zercanc] Cancelación y ceros alejados: ejemplo y simulaciones de efecto en respuesta temporal sistema lineal **  14:54

[122: ordsupej1] Análisis de respuesta escalón (aproximada) orden superior: ejemplos Matlab (1: polos reales) **  13:48

[123: ordsupej2] Análisis de respuesta escalón (aproximada) orden superior: ejemplos Matlab (2: mezcla reales/complejos) ***  13:50

[124: ordsupej3] Análisis de respuesta escalón (aproximada) orden superior: ejemplos Matlab (3: ceros, casos sin dominancia clara) ***  13:54

Contenido opcional más avanzado: [125: props2mass] Análisis de propiedades de la resp. temporal de un sistema de 2 masas y 2 muelles (Matlab) ***  10:25

El análisis de la respuesta de un sistema también puede hacerse en representación interna, pero este tipo de contenidos no caen para examen de SAU, un ejemplo opcional lo tenéis en [ moll3free, (14:50, opcional)] .

Interconexión de sistemas, diagrama de bloques

[126: c2glblk] Ejercicio diagrama de bloques: control 2GL con perturbaciones **  20:41

Capítulo 8
Parcial 2, UD6: Introducción a la realimentación y el control realimentado

Palabras clave en guía docente:  objetivos, bucles realimentados, realimentación positiva y negativa, esquemas básicos, efectos del control realimentado, análisis mediante funciones de transferencia, estrategias básicas de control, control todo-nada,control PID, ajuste basado en modelo de controladores PID, asignación de polos en bucle cerrado.

8.1. Objetivos del control, bucles realimentados

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 18, 24/11]

Tenéis, para comenzar, una descripción intuitiva, sin fórmulas, de qué es el control y las opciones tecnológicas para abordarlo:

[127: contrintu1] Problemas de control en un proceso industrial: discusión y definiciones intuitivas *  17:50

[128: contrintu2] Problemas de control de procesos industriales: opciones tecnológicas para abordarlo *  15:41

Y un par de vídeos de terceros introductorios al tema:

[129: fundcontrR] Fundamentos del Control Realimentado Instrumentacionycontrol.net **  10:21

[130: onoffintro] El control realimentado ON-OFF (Todo-Nada) Instrumentacionycontrol.net **  03:58

8.2. Estrategias básicas de control (Todo/Nada & P-I-D), intuición sin fórmulas

Esto es “lo que hay que entender para interactuar con no expertos y técnicos de FP” o si eres un “maker” que te haces tus cacharretes sin demasiados cálculos. NO cae en examen, pero es MUY IMPORTANTE entenderlo:

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 18, 24/11]

Control ON/OFF (Todo/Nada, Bi-nivel)

[131: tank1OnOff] Control ON/OFF de nivel de tanque de líquido: análisis/animación del comportamiento *  14:54

[132: onoffVI] Control Todo-Nada (On/Off): resumen ventajas e inconvenientes *  05:14

Control en bucle abierto

[133: tank1BAP] Control nivel tanque de líquido en bucle abierto: interpretación intuitiva, casos proporcional y no lineal **  20:30

Control PID de un tanque de líquido

[134: tank1P] Control proporcional de nivel de tanque de líquido: simulación Matlab y explicación intuitiva, error de posición **  18:27

[135: tank1PIanim] Control proporcional-integral (PI) de nivel tanque de líquido: animación, interpretación intuitiva **  16:57

Otros vídeos introductorios sobre acciones básicas de control

[136: carPIDMIT] Control PID, comprensión intuitiva: ejemplo en conducción de vehículo AerospaceControlsLab (MIT) **  04:40

Control PI de un sistema de 1er orden estable

[137: Pintu] Control Proporcional sistema 1er orden estable, prueba y error (ajuste empírico de PIDs) **  18:59

[138: PIintu1] Ajuste empírico/intuitivo control Proporcional Integral: proceso dominantemente 1er orden (PI académico) **  12:36

*En las notas finales (apéndice para asignatura TAU) se encuentra el enlace a más detalles sobre configuración por prueba y error de PIDs avanzados.

Control PID de posición (doble integrador)

[139: dintpid1motEN] Double-integrator and its control (1): motivation **  17:54

[140: dintpid2tunEN] Double integrator and its control: trial and error controller tuning [1: PD] ***  18:37

[141: dintpid2tunBEN] Double integrator and its control: trial and error PID tuning [2, PID; 3., advanced tweaks] ***  11:25

*La parte final de este último vídeo realmente corresponde a los contenidos del primer parcial de “Tecnología Automática”, continuación de SAU.

8.3. Demostraciones PID en equipos reales

Algunos vídeos de terceros:

[142: pitchpid] Pitch control using a PID DIYmaker1 (YouTube)  00:25

[143: piddemo1] Hardware demo of a digital PID controller Gregory L. Holst (YouTube)  02:57

[144: piddemo2] Position control, PID tuning Horizon 4 Electronics (YouTube)  01:20

Y una descripción del funcionamiento de un equipo levitador que tenemos en el Departamento:

[145: maglev] Levitador magnético: sintonía experimental prueba y error PID, componentes electrónicos *  11:52

8.4. Enfoque teórico al control de procesos (introducción a la teoría de control)

*Fechas de clases sobre este tema: [sesiones 18 y 19 (24/11, 28/11) ]

Esto es “lo que cae en examen”... la teoría detrás de los resultados experimentales de la sección 8.3.

8.4.1. Control de sistemas de primer orden

Control proporcional de sistema de 1er orden estable

[146: Pteo1] Control Proporcional sistema 1er orden (teoría, 1): seguimiento de referencia **  19:58

[147: Pteo2] Control Proporcional sistema 1er orden (teoría, 2): rechazo perturbaciones y ruido de medida ***  17:55

Caso de estudio sistema orden 1 (tipo 0):

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 19, 28/11 ]

[148: ord1ejP] Control proporcional de sistema lineal de primer orden: ejercicio resuelto (Matlab) **  11:35

[149: ord1ejPI] Control Proporcional-Integral de sistema lineal de primer orden: ejercicio resuelto (Matlab) **  14:12

Bioreactor, control proporcional-integral

[150: bio1cP] Sistema inestable 1er orden: control proporcional de bioreactor **  21:27

[151: bioPI1] Sistema inestable 1er orden (biorreactor): control proporcional-integral (PI) **  22:31

Contenido opcional más avanzado: *Esto es más de TAU que de SAU... pero si tienes tiempo, puedes echarle un vistazo.

[152: bio1tgl] Sistema inestable 1er orden (biorreactor): control proporcional 2GL, perturbaciones ***  17:50

También el análisis con la metodología ‘lugar de las raíces’ usando Matlab lo verás en la asignatura TAU, mira el vídeo 197 más adelante.

Caso de estudio: tanque de líquido, enfoque “teórico”

Modelado, control en bucle abierto:

[153: tank1ModyBA] Modelado teórico, análisis y control en bucle abierto de nivel de un tanque de líquido **  15:14

Control Proporcional:

[154: tankCLeq] Ecuaciones en bucle cerrado: seguimiento de referencia y rechazo de perturbaciones. Ejemplo Matlab control nivel líquido. **  18:51

[155: tank1CLan] Análisis linealizado de respuesta en bucle cerrado de control de nivel con control proporcional ***  18:49

Control PI: En los siguientes vídeos de “proporcional-integral” (PI) el desarrollo completo con dinámica de actuador no podría caer en examen (es de orden 3 y necesitaríamos Matlab sí o sí para calcular los polos), salvo el caso de “cancelación” que sí permitiría operar con orden 2 en los cálculos. Pero las conclusiones generales sobre cómo hay que proceder sí son de interés:

[156: tank1PI1teo] Ecuaciones en bucle cerrado de control de nivel con control proporcional-Integral y dinámica de actuador ***  13:29

[157: tank1PI2step] Control de nivel con control proporcional-Integral y dinámica de actuador: análisis comparativo de opciones de ganancia integral ***  18:59

8.4.2. Error estacionario en bucles de control

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 20, 1/12 ]

El siguiente vídeo es la aplicación a bucles CERRADOS de las ideas sobre valor final ante entradas escalón y rampa discutidas en los vídeos [ tvf1(08:40)], [ tvf3(14:45)] y [ tvf4(15:30)].

La idea básica es que como $e(s)=\frac{1}{1+G(s)K(s)}r(s)$ en un bucle con proceso $G$ y controlador $K$, al “quitar denominadores” para dejar la FdT de referencia a error de bucle cerrado en “bonito”, el número de polos en el origen (integradores) de $G\cdot K$ es igual al número de ceros en el origen (derivadores) de $\frac{1}{1+G(s)K(s)}$, para aplicar el resultado general del final del vídeo [ tvf4(15:30)].

El estudio en detalle de todo esto será en la asignatura siguiente (TAU). Para SAU, podría caer alguna cuestión en algún apartado de examen sobre entradas rampa a bucle de control, por lo que se aconseja la visualización del vídeo:

[158: errposv1] Error de control en régimen estacionario: motivación, error de posición y velocidad, teorema valor final ***  17:24

8.4.3. Control de sistemas de segundo orden

Caso de estudio sistema orden 2 (tipo 0)

*Fechas de clases sobre este tema: [sesión 20 y 21 (1/12, 5/12) ]

[159: ord2ejP] Control de sistema de segundo orden (I): control proporcional (ejemplo resuelto Matlab) **  19:36

[160: ord2ejPD] Control de sistema de segundo orden (II): control proporcional-derivado (ejemplo resuelto Matlab) ***  20:28

[161: ord2ejPI] Control de sistema de segundo orden (III): control proporcional-integral (ejemplo resuelto Matlab) ***  12:51

[162: ord2ejPID] Control de sistema de segundo orden (IV): control proporcional-integral-derivado PID (Matlab) ***  17:49

Sistema orden 2 inestable (péndulo invertido)

La parte de modelado, revisadla en el vídeo 61.

[163: pendipd] Péndulo inestable: control PD (sin cancelación) ***  19:59

[164: pendipdcanmal] Péndulo inestable: control PD, cancelación de polo inestable, un error gravísimo. ***  11:59

[165: pendipdcanbe] Péndulo inestable: control PD, cancelación de polo estable, análisis y simulación ***  22:39

Caso de estudio sistema doble integrador (orden 2, tipo 2)

Control proporcional-derivativo:

[166: dintteostEN] Double integrator, PD control: stability ***  20:59

[167: dintteoerrEN] Double integrator, PD control: position and velocity errors (setpoint tracking and disturbance rejection) ***  13:51

[168: dintPDplaceEN] double-integrator PD design via pole placement ***  23:38

Control PID completo del doble integrador:

[169: dintPIDplaceEN] double-integrator PID design via pole placement ***  21:49

8.4.4. Caso de estudio: modelado, identificación y control PID de un eje

Modelado y respuesta temporal en bucle abierto

[170: pideje1] Control de eje (1): planteamiento del problema, modelo físico y función de transferencia **  11:52

[171: eje2step] Control de eje (2): respuesta escalón velocidad y posición en bucle abierto **  19:12

[172: eje3idba] Control de eje (3): identificación experimental escalón velocidad y posición, bucle abierto ***  15:57

Control de VELOCIDAD de eje (orden 1)

[173: eje4vP] Control de eje (4): control Proporcional de Velocidad ***  22:56

[174: eje5vPI] Control de eje (5): control Proporcional-Integral de Velocidad ***  18:43

Control de POSICIÓN de eje (orden 2, tipo 1)

Control proporcional (P)

[175: eje6pP1] Control de eje (6): control de posición, proporcional, especificaciones estáticas ***  18:15

[176: eje7pP2] Control de eje (7): control de posición, proporcional, especificaciones dinámicas ***  15:53

[177: eje8pP3] Control de eje (8): control de posición, proporcional, problema tipo concreto ***  10:48

Control proporcional-derivado (PD)

[178: eje9pPD1] Control PD de posición de eje (9): planteamiento general y ejemplo 1 ***  10:09

[179: eje10pPD2] Control PD de posición de eje (10): ejemplo 2 ***  13:44

Control proporcional-integral (PI)

[180: eje11pPI1] Control eje (11): control PI, especificaciones estáticas y dinámicas con cancelación (no funciona) ***  18:48

Control proporcional-integral-derivado (PID completo)

[181: eje15pPIDc] Control eje (15): PID completo (con cancelación), control de posición ***  19:47

[182: eje16pPIDnc] Control eje (16): PID completo (sin cancelación), control de posición ***  16:17

Identificación en bucle cerrado (control de posición)

A veces, se combinan problemas de identificación de elementos internos a un diagrama de bloques, usualmente dentro de un sistema de control. Los próximos dos vídeos plantean un ejemplo de ello.

[183: idbcind2] Identificación indirecta en bucle cerrado ante ensayo escalón en referencia, ejemplo eje ***  14:49

[184: idbcind3] Identificación indirecta en bucle cerrado: ensayo escalón en acción control, ejemplo eje ***  13:02

Capítulo 9
Resumen/formulario para examen: análisis de respuesta temporal

9.1. Ideas básicas para todos los sistemas

Las propiedades básicas que un usuario desea saber sobre un sistema (lineal en esta asignatura) son:

Estabilidad

• Los polos son raíces de denominador de la Función de Transferencia $G(s)$,

• Son los autovalores de $A$ en representación interna $ẋ=Ax+Bu$.

• ESTABLE: Parte real de TODOS los polos estrictamente negativa, o sea, exponenciales de tipo $e^{-2t}$ o $e^{-0,3t}\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(5t)$.

• Inestabilidad “MARGINAL”: no hay polos con parte real positiva, pero sí hay polos con parte real CERO. Entonces, la respuesta libre NO vuelve al equilibrio (equilibrio indiferente en Física), y la respuesta forzada puede ir a infinito.

Si el sistema es inestable no suele tener sentido analizar los siguientes apartados, porque NO podrá ser conectado en ninguna aplicación de ingeniería salvo que se incorpore un “sistema de control” para estabilizarlo.

Valor final, ${\mathrm{l<mover\; accent="true"><mrow>ı</mrow><mo\; accent="true">´</mo></mover>m}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{t\to \infty }y(t)$

• Si el sistema es inestable, el valor final es INFINITO.

• Entrada CONSTANTE (escalón): Si es estable, $y_{eq}=G(0)\cdot u_{eq}$ (en coordenadas incrementales, claro).

Tipología del transitorio

• NO oscilatorio (sobreamortiguado): todos los polos REALES.

• Oscilatorio (subamortiguado): si existen polos con parte imaginaria no nula.

  $▸$ El polo en $-a\pm bj$ va asociado a una respuesta combinación de {$e^{-at}\text{sin}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(bt)$, $e^{-at}\text{cos}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->(bt)$}.

  $▸$ La parte imaginaria del polo es la frecuencia de las oscilaciones en rad/s.

Duración del transitorio (tiempo de establecimiento)

Las fórmulas aproximadas usan el hecho que $ln0,05=-2,995\approx -3$, $ln0,02=-3,91\approx -4$.

• La exponencial $e^{-at}$ (el polo $(s+a)$ o en caso oscilatorio ${(s+a)}^2+b^2$ en Laplace) tiene una duración, a partir de $e^{-a{t}_e}=0,05$, $t_e\approx 3∕a$ (criterio 5$$%), o usando $e^{-a{t}_e}=0,02$, $t_e\approx 4∕a$ (criterio 2$$%).

• A veces los criterios del 5$$% o 2$$% son llamados criterios del 95$$% o del 98$$%.

• Si hay varias exponenciales, la duración (aproximadamente) del transitorio es la de aquella que decae más lentamente (polo dominante).